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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2023 · Junio
Enunciado
Indique cuatro magnitudes características de la ecuación de una onda transversal en una cuerda, defínalas y exprese sus unidades en el S.I.
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Resultado
AA (m), λ\lambda (m), TT (s) o ff (Hz), kk (rad/m); también ω\omega (rad/s) y vv (m/s).
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Estrategia

Se parte de la ecuación de una onda armónica que avanza por la cuerda, y(x,t)=A sin⁡(ωt∓kx+φ0)y(x,t) = A\,\sin(\omega t \mp kx + \varphi_0), y se definen las magnitudes que aparecen en ella o que se deducen directamente: amplitud, longitud de onda, periodo, frecuencia, número de onda, frecuencia angular y velocidad de propagación.
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Desarrollo

La ecuación de una onda armónica transversal que se propaga por una cuerda en la dirección del eje XX es:y(x,t)=A sin⁡(ωt∓kx+φ0)y(x,t) = A\,\sin(\omega t \mp k x + \varphi_0)donde yy es el desplazamiento transversal (elongación) del punto de la cuerda situado en xx en el instante tt; el signo −- corresponde a propagación hacia +x+x y el ++, hacia −x-x. Cuatro magnitudes características:
  • Amplitud, AA: elongación máxima de los puntos de la cuerda respecto de su posición de equilibrio. Unidad: metro (m\text{m}).
  • Longitud de onda, λ\lambda: distancia mínima entre dos puntos que vibran en fase (por ejemplo, entre dos crestas consecutivas). Es lo que avanza la onda en un periodo. Unidad: metro (m\text{m}).
  • Periodo, TT: tiempo que tarda un punto de la cuerda en realizar una oscilación completa (y la onda en avanzar una longitud de onda). Unidad: segundo (s\text{s}). Su inversa es la frecuencia, f=1/Tf = 1/T, número de oscilaciones por segundo, en hercios (Hz=s−1\text{Hz} = \text{s}^{-1}).
  • Número de onda, k=2π/λk = 2\pi/\lambda: número de longitudes de onda contenidas en 2π2\pi metros; indica cómo cambia la fase con la posición. Unidad: radián por metro (rad/m\text{rad/m}, o m−1\text{m}^{-1}).
Otras que también valen:
  • Frecuencia angular, ω=2π/T=2πf\omega = 2\pi/T = 2\pi f: rapidez con que cambia la fase con el tiempo. Unidad: rad/s\text{rad/s}.
  • Velocidad de propagación, v=λ/T=ω/kv = \lambda/T = \omega/k: velocidad con la que avanza la perturbación por la cuerda (no la de los puntos, que vibran transversalmente). Unidad: m/s\text{m/s}.
  • Fase inicial, φ0\varphi_0: estado de vibración en x=0x = 0 y t=0t = 0. Unidad: radián (rad\text{rad}).
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Consejo

No basta con nombrarlas: define cada una con una frase y pon su unidad. Distingue bien la velocidad de propagación (λ/T) de la velocidad de vibración de los puntos de la cuerda.
Paso 1 de 3
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