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Campo magnético creado por corrientes

Castilla y León · 2023 · Junio

Enunciado

Tres hilos conductores paralelos, rectilíneos y de longitud infinita se sitúan perpendicularmente a un triángulo equilátero de

30\ \text{cm}

de lado, uno en cada vértice. Por dos de ellos circulan corrientes eléctricas de

2\ \text{A}

en el mismo sentido (ver figura). Determine la fuerza por unidad de longitud que experimenta el tercer hilo, si por él circula una corriente eléctrica de

3\ \text{A}

en sentido contrario a las anteriores.

Triángulo equilátero de 30 cm de lado con la base sobre el eje x y el vértice superior sobre el eje y. En los dos vértices de la base hay hilos con corrientes de 2 A que entran en el papel (símbolo de aspa en un círculo); en el vértice superior, un hilo con 3 A que sale del papel (punto en un círculo).

Datos (de la tabla de constantes del examen):

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N}\,\text{A}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\frac{\vec F}{L} = 6{,}93\cdot 10^{-6}\,\vec\jmath\ \ \text{N/m}\ \ (\text{vertical, alejándose de la base})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos corrientes paralelas se atraen si van en el mismo sentido y se repelen si van en sentido contrario, con una fuerza por unidad de longitud

F/L = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d)

. El hilo de arriba lleva la corriente opuesta a los de la base, así que cada uno de ellos lo repele a lo largo del lado del triángulo. Sumamos las dos fuerzas como vectores: por simetría, las componentes horizontales se anulan.

Desarrollo

Fuerza por unidad de longitud que ejerce cada hilo de la base sobre el de arriba (

d = 0{,}30\ \text{m}

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_3}{2\pi\,d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2\cdot 3}{2\pi\cdot 0{,}30} = 4{,}00\cdot 10^{-6}\ \text{N/m}

Las corrientes son opuestas, así que la fuerza es de repulsión: cada una apunta desde el hilo de la base hacia el vértice superior y más allá, a lo largo del lado, formando

60^\circ

con el eje

x

Del hilo de la izquierda: $\dfrac{\vec F_1}{L} = 4{,}00\cdot 10^{-6}\left(\cos 60^\circ\,\vec\imath + \sin 60^\circ\,\vec\jmath\right)\ \text{N/m}$
Del hilo de la derecha: $\dfrac{\vec F_2}{L} = 4{,}00\cdot 10^{-6}\left(-\cos 60^\circ\,\vec\imath + \sin 60^\circ\,\vec\jmath\right)\ \text{N/m}$

Sumando, las componentes

x

se cancelan:

\frac{\vec F}{L} = 2\cdot 4{,}00\cdot 10^{-6}\cdot \sin 60^\circ\,\vec\jmath = 6{,}93\cdot 10^{-6}\,\vec\jmath\ \ \text{N/m}

La fuerza resultante es vertical y hacia arriba: aleja el tercer hilo de la base del triángulo.

(Comprobación con el campo: cada hilo de la base crea en el vértice superior un campo

B = \mu_0 I/(2\pi d) = 1{,}33\cdot 10^{-6}\ \text{T}

; sus componentes verticales se anulan y queda un campo horizontal

\vec B = 2{,}31\cdot 10^{-6}\,\vec\imath\ \text{T}

. Con la corriente de

3\ \text{A}

saliendo del papel,

\vec F/L = I\,\vec u_k \times \vec B = 3\cdot 2{,}31\cdot 10^{-6}\,(\vec k\times\vec\imath) = 6{,}93\cdot 10^{-6}\,\vec\jmath\ \text{N/m}

Consejo

Corrientes en el mismo sentido se atraen; en sentido contrario, se repelen. Dibuja primero las dos fuerzas en el vértice y aprovecha la simetría antes de calcular.

Es fuerza por unidad de longitud: la respuesta va en N/m, no en N.

Paso 1 de 3

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