Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Pasamos los datos al SI:$$r_T = 1{,}466\cdot 10^{11}\ \text{m}\qquad r_M = 2{,}279\cdot 10^{11}\ \text{m}\qquad T_T = 365\cdot 86\,400 = 3{,}154\cdot 10^{7}\ \text{s}$$Masa del Sol. En la órbita circular de la Tierra, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:$$\frac{G\,M_S\,m_T}{r_T^2} = m_T\,\frac{4\pi^2}{T_T^2}\,r_T\quad\Longrightarrow\quad M_S = \frac{4\pi^2\,r_T^3}{G\,T_T^2}$$$$M_S = \frac{4\pi^2\,(1{,}466\cdot 10^{11})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot (3{,}154\cdot 10^{7})^2} = 1{,}88\cdot 10^{30}\ \text{kg}$$(El valor aceptado es $1{,}99\cdot 10^{30}\ \text{kg}$: sale algo menor porque la distancia Tierra-Sol del enunciado, $1{,}466\cdot 10^{8}\ \text{km}$, es menor que la real, $1{,}496\cdot 10^{8}\ \text{km}$, y la masa va con $r^3$. Con los datos del examen, el resultado correcto es $1{,}88\cdot 10^{30}\ \text{kg}$.)

Velocidad orbital de Marte. Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta para Marte:$$\frac{G\,M_S\,m_M}{r_M^2} = m_M\,\frac{v_M^2}{r_M}\quad\Longrightarrow\quad v_M = \sqrt{\frac{G\,M_S}{r_M}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}875\cdot 10^{30}}{2{,}279\cdot 10^{11}}} = 2{,}34\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$$Comprobación con la tercera ley de Kepler (mismo cuerpo central):$$\frac{T_M^2}{r_M^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3}\quad\Longrightarrow\quad T_M = T_T\left(\frac{r_M}{r_T}\right)^{3/2} = 6{,}11\cdot 10^{7}\ \text{s}\ \ (707\ \text{días})$$$$v_M = \frac{2\pi\,r_M}{T_M} = \frac{2\pi\cdot 2{,}279\cdot 10^{11}}{6{,}113\cdot 10^{7}} = 2{,}34\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$$Marte va más despacio que la Tierra ($2{,}92\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$), como corresponde a una órbita más alejada.