Campo y potencial eléctrico

Fuerza en función de $q_1$. Con $q_2 = Q - q_1$, el módulo de la fuerza entre las cargas es:$$F(q_1) = K\,\frac{q_1\,q_2}{d^2} = \frac{K}{d^2}\,q_1\,(Q - q_1) = \frac{K}{d^2}\left(Q\,q_1 - q_1^2\right)$$Al «dividir» la carga $Q$ en dos partes, las dos tienen su mismo signo ($q_1$ entre $0$ y $Q$), así que se repelen. $K$ y $d$ son constantes. (Si se permitieran cargas de signos opuestos que sumaran $Q$, el producto podría hacerse tan grande como se quisiera y no habría máximo.)

Máximo. Derivamos respecto de $q_1$ e igualamos a cero:$$\frac{dF}{dq_1} = \frac{K}{d^2}\left(Q - 2\,q_1\right) = 0\quad\Longrightarrow\quad q_1 = \frac{Q}{2}$$La segunda derivada, $\dfrac{d^2F}{dq_1^2} = -\dfrac{2K}{d^2} < 0$, confirma que es un máximo. Entonces:$$q_2 = Q - \frac{Q}{2} = \frac{Q}{2}$$Fuerza máxima.$$F_{\text{máx}} = K\,\frac{(Q/2)^2}{d^2} = \frac{K\,Q^2}{4\,d^2}$$Se entiende sin derivar: de todos los pares de números con suma fija, el de mayor producto es el de dos números iguales (por ejemplo, con $Q = 10$: $5\cdot 5 = 25 > 4\cdot 6 = 24 > 2\cdot 8 = 16$).