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Campo magnético creado por corrientes

Castilla y León · 2023 · Julio

Enunciado

Por tres hilos rectilíneos

A

B

C

, muy largos y paralelos, circula la misma intensidad de

2\ \text{A}

. Su posición y el sentido de la corriente se muestran en la figura. Calcule el vector campo magnético generado en el punto medio

M

de la hipotenusa. Realice un diagrama ilustrativo que muestre el campo que produce cada hilo en ese punto, así como el campo total.

Triángulo rectángulo con el ángulo recto en el hilo C, abajo a la izquierda. El hilo A está 1 m por encima de C y el hilo B, 1 m a la derecha de C. En A y en B la corriente sale del papel (punto dentro de un círculo); en C entra en el papel (aspa dentro de un círculo). M es el punto medio de la hipotenusa AB.

Datos (de la tabla de constantes del examen):

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{N}\,\text{A}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec B_M = \left(4{,}00\cdot 10^{-7}\,\vec i - 4{,}00\cdot 10^{-7}\,\vec j\right)\ \text{T}\qquad |\vec B_M| = 5{,}66\cdot 10^{-7}\ \text{T}\;}

Los campos de

A

B

se anulan; el total es el de

C

, a lo largo de

AB

hacia

B

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada hilo crea un campo de módulo

B = \mu_0 I/(2\pi d)

, con líneas circulares a su alrededor cuyo sentido da la regla de la mano derecha. Como

M

es el punto medio de la hipotenusa, está a la misma distancia de los tres hilos, así que los tres campos tienen el mismo módulo: basta con encontrar sus direcciones y sumarlos.

Desarrollo

Tomamos

C

en el origen, el eje X hacia

B

y el eje Y hacia

A

, y el eje Z saliendo del papel. Entonces

C = (0, 0)

B = (1, 0)

A = (0, 1)

M = (0{,}5;\ 0{,}5)\ \text{m}

.

Distancias y módulo. Los tres hilos distan lo mismo de

M

(el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices):

d = \sqrt{0{,}5^2 + 0{,}5^2} = 0{,}707\ \text{m}

B_A = B_B = B_C = \frac{\mu_0\,I}{2\pi d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 0{,}707} = 5{,}66\cdot 10^{-7}\ \text{T}

Direcciones. El campo de un hilo es perpendicular a la recta que une el hilo con el punto; su sentido es

\hat u_I\times\hat u_r

, con

\hat u_I

el sentido de la corriente y

\hat u_r

el unitario del hilo al punto.

Hilo $A$ (corriente $+\vec k$ ): $\hat u_r = \frac{1}{\sqrt2}(\vec i - \vec j)$ , y $\vec k\times\frac{1}{\sqrt 2}(\vec i - \vec j) = \frac{1}{\sqrt 2}(\vec i + \vec j)$ . Apunta hacia arriba a la derecha.
Hilo $B$ (corriente $+\vec k$ ): $\hat u_r = \frac{1}{\sqrt2}(-\vec i + \vec j)$ , y el campo va según $\frac{1}{\sqrt 2}(-\vec i - \vec j)$ . Apunta hacia abajo a la izquierda.
Hilo $C$ (corriente $-\vec k$ ): $\hat u_r = \frac{1}{\sqrt2}(\vec i + \vec j)$ , y $-\vec k\times\frac{1}{\sqrt 2}(\vec i + \vec j) = \frac{1}{\sqrt 2}(\vec i - \vec j)$ . Apunta hacia abajo a la derecha.

\vec B_A = 4{,}00\cdot 10^{-7}\,(\vec i + \vec j)\ \text{T}\qquad \vec B_B = -4{,}00\cdot 10^{-7}\,(\vec i + \vec j)\ \text{T}\qquad \vec B_C = 4{,}00\cdot 10^{-7}\,(\vec i - \vec j)\ \text{T}

Diagrama. En

M

se dibujan tres flechas de igual longitud.

\vec B_A

\vec B_B

van a lo largo de la recta

y = x

, perpendicular a la hipotenusa

AB

\vec B_A

hacia arriba a la derecha (alejándose de

C

) y

\vec B_B

hacia abajo a la izquierda (hacia

C

); son opuestas y se anulan.

\vec B_C

va a lo largo de la hipotenusa, hacia

B

(abajo a la derecha), y coincide con el campo total.

Campo total. Por superposición:

\vec B_M = \vec B_A + \vec B_B + \vec B_C = 4{,}00\cdot 10^{-7}\,\vec i - 4{,}00\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \ \text{T}

|\vec B_M| = 5{,}66\cdot 10^{-7}\ \text{T}

Los campos de

A

B

se cancelan porque sus corrientes tienen el mismo sentido y

M

está en medio de los dos; solo queda el de

C

, dirigido a lo largo de la hipotenusa hacia

B

Consejo

Antes de calcular, mira las distancias: si son iguales, todo se reduce a encontrar las direcciones. Para cada hilo, pon el pulgar en el sentido de la corriente y los dedos te dan el giro del campo; en el punto, el campo es tangente a esa circunferencia.

Paso 1 de 3

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