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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla y León · 2023 · Julio
Enunciado
Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La energía mecánica del satélite en la órbita es −4,5⋅109 J-4{,}5\cdot 10^{9}\ \text{J} y su velocidad 7610 m⋅s−17610\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}. Calcule el radio de la órbita y la masa del satélite.

Datos (de la tabla de constantes del examen): G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}.
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Resultado
  r=6,89⋅106 mm=155 kg  \boxed{\;r = 6{,}89\cdot 10^{6}\ \text{m}\qquad m = 155\ \text{kg}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, de donde sale v2=GMT/rv^2 = GM_T/r: con la velocidad se obtiene el radio. La energía mecánica en órbita circular es Em=−GMTm/(2r)=−12mv2E_m = -GM_Tm/(2r) = -\tfrac{1}{2}mv^2, así que con EmE_m y vv se despeja la masa.
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Desarrollo

Radio de la órbita. Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta:GMTmr2=m v2r⟹r=GMTv2\frac{GM_Tm}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{GM_T}{v^2}r=6,67⋅10−11⋅5,98⋅102476102=3,99⋅10145,79⋅107=6,89⋅106 mr = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{7610^2} = \frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{5{,}79\cdot 10^{7}} = 6{,}89\cdot 10^{6}\ \text{m}Es una órbita baja: unos 517 km517\ \text{km} sobre la superficie.

Masa del satélite. La energía mecánica en órbita circular es la suma de la cinética y la potencial:Em=12 m v2−GMTmr=12 m v2−m v2=−12 m v2E_m = \frac{1}{2}\,m\,v^2 - \frac{GM_Tm}{r} = \frac{1}{2}\,m\,v^2 - m\,v^2 = -\frac{1}{2}\,m\,v^2(usando GMT/r=v2GM_T/r = v^2). Despejando:m=−2 Emv2=−2⋅(−4,5⋅109)76102=155 kgm = -\frac{2\,E_m}{v^2} = -\frac{2\cdot(-4{,}5\cdot 10^{9})}{7610^2} = 155\ \text{kg}
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

En órbita circular, Em=−EcE_m = -E_c: la energía mecánica es la cinética cambiada de signo. Con esta relación la masa sale en una línea, sin necesidad de calcular antes el radio.
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