FísicaMedio1 pts

Radiactividad y desintegración

Castilla y León · 2023 · Julio
Enunciado
Se dispone de una muestra de 102010^{20} núcleos de un material radiactivo cuyo periodo de semidesintegración es 2929 años. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su actividad sea 600 Bq600\ \text{Bq}?
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Resultado
  λ=7,58⋅10−10 s−1A0=7,58⋅1010 Bqt=2,46⋅1010 s≈780 an˜os  \boxed{\;\lambda = 7{,}58\cdot 10^{-10}\ \text{s}^{-1}\qquad A_0 = 7{,}58\cdot 10^{10}\ \text{Bq}\qquad t = 2{,}46\cdot 10^{10}\ \text{s} \approx 780\ \text{años}\;}
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Estrategia

La actividad es A=λNA = \lambda N y decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos: A=A0 e−λtA = A_0\,e^{-\lambda t}. Se calcula la constante de desintegración en s−1\text{s}^{-1} (el becquerel es una desintegración por segundo), la actividad inicial, y se despeja tt con logaritmos.
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Desarrollo

Constante de desintegración. Pasamos el periodo a segundos (tomando 11 año =365= 365 días):T1/2=29⋅365⋅86 400=9,15⋅108 sT_{1/2} = 29\cdot 365\cdot 86\,400 = 9{,}15\cdot 10^{8}\ \text{s}λ=ln⁡2T1/2=0,6939,15⋅108=7,58⋅10−10 s−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{9{,}15\cdot 10^{8}} = 7{,}58\cdot 10^{-10}\ \text{s}^{-1}Actividad inicial.A0=λ N0=7,58⋅10−10⋅1020=7,58⋅1010 BqA_0 = \lambda\,N_0 = 7{,}58\cdot 10^{-10}\cdot 10^{20} = 7{,}58\cdot 10^{10}\ \text{Bq}Tiempo. De A=A0 e−λtA = A_0\,e^{-\lambda t}:t=1λ ln⁡A0A=17,58⋅10−10 ln⁡7,58⋅1010600=18,657,58⋅10−10=2,46⋅1010 st = \frac{1}{\lambda}\,\ln\frac{A_0}{A} = \frac{1}{7{,}58\cdot 10^{-10}}\,\ln\frac{7{,}58\cdot 10^{10}}{600} = \frac{18{,}65}{7{,}58\cdot 10^{-10}} = 2{,}46\cdot 10^{10}\ \text{s}En años:t=2,46⋅1010365⋅86 400=780 an˜ost = \frac{2{,}46\cdot 10^{10}}{365\cdot 86\,400} = 780\ \text{años}Equivale a unos 2727 periodos de semidesintegración (780/29=26,9780/29 = 26{,}9): la actividad tiene que bajar en un factor 1,26⋅108≈2271{,}26\cdot 10^{8} \approx 2^{27}.
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Consejo

Para la actividad en becquerel, λ\lambda tiene que ir en s−1\text{s}^{-1}: si la dejas en an˜os−1\text{años}^{-1}, A0=λN0A_0 = \lambda N_0 sale en desintegraciones por año y la comparación con los 600 Bq600\ \text{Bq} no vale.
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