FísicaMedioProblema · 3 pts

Luz: reflexión, refracción y ondas electromagnéticas

Castilla-La Mancha · 2023 · Junio

Enunciado

Una onda electromagnética se propaga por el agua y tiene la siguiente función de onda:

E(x,t) = 100\,\text{sen}\left(1{,}2\cdot 10^7\,x - 2{,}72\cdot 10^{15}\,t\right)\ \text{V/m},

donde

x

se expresa en metros y

t

en segundos.

a) Determina su longitud de onda, su frecuencia y el sentido en que se propaga.

b) Calcula la velocidad con que se propaga y el índice de refracción del agua.

c) Calcula la diferencia de fase (en radianes) que habrá para un punto del medio entre un instante dado y 1 femtosegundo después (

1\,\text{fs} = 10^{-15}\,\text{s}

). Calcula también qué desfase inicial tendríamos que darle a la onda para que un punto en

x = 30\,\text{nm}

tenga en

t = 0

un valor de

E = 50\,\text{V/m}

.

Datos:

c = 3\cdot 10^8\,\text{m/s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda = 524\ \text{nm}\qquad f = 4{,}33\cdot 10^{14}\ \text{Hz}\qquad \text{se propaga hacia } +X\;}

\boxed{\;v = 2{,}27\cdot 10^8\ \text{m/s}\qquad n = 1{,}32\qquad \Delta\varphi = 2{,}72\ \text{rad}\qquad \varphi_0 = 0{,}164\ \text{rad o } 2{,}26\ \text{rad}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Comparando con

E = E_0\,\text{sen}(kx - \omega t + \varphi_0)

se leen

k = 1{,}2\cdot 10^7\,\text{rad/m}

\omega = 2{,}72\cdot 10^{15}\,\text{rad/s}

. De ahí salen

\lambda = 2\pi/k

f = \omega/2\pi

v = \omega/k

; el índice es

n = c/v

. Para un mismo punto, la fase cambia

\omega\,\Delta t

. El desfase inicial sale de imponer

E(30\,\text{nm}, 0) = 50\,\text{V/m}

, que tiene dos soluciones.

Desarrollo

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{1{,}2\cdot 10^7} = 5{,}24\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 524\ \text{nm}

f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2{,}72\cdot 10^{15}}{2\pi} = 4{,}33\cdot 10^{14}\ \text{Hz}

La fase es

kx - \omega t

(signos opuestos): la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$ .

b)

v = \frac{\omega}{k} = \frac{2{,}72\cdot 10^{15}}{1{,}2\cdot 10^7} = 2{,}27\cdot 10^8\ \text{m/s} \qquad n = \frac{c}{v} = \frac{3\cdot 10^8}{2{,}27\cdot 10^8} = 1{,}32

c) Para un punto fijo, la diferencia de fase entre dos instantes separados

\Delta t = 10^{-15}\,\text{s}

\Delta\varphi = \omega\,\Delta t = 2{,}72\cdot 10^{15}\cdot 10^{-15} = 2{,}72\ \text{rad}

Con un desfase inicial

\varphi_0

, en

x = 30\cdot 10^{-9}\,\text{m}

t = 0

100\,\text{sen}\left(1{,}2\cdot 10^7\cdot 30\cdot 10^{-9} + \varphi_0\right) = 50 \quad\Longrightarrow\quad \text{sen}(0{,}36 + \varphi_0) = 0{,}5

0{,}36 + \varphi_0 = \frac{\pi}{6}\ \text{o}\ \frac{5\pi}{6} \quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = 0{,}164\ \text{rad}\quad\text{o}\quad \varphi_0 = 2{,}26\ \text{rad}

El enunciado no da más condiciones (por ejemplo, el signo de

\partial E/\partial t

), así que valen las dos.

Consejo

La frecuencia de la luz no cambia al pasar del vacío al agua, pero la longitud de onda sí: en el vacío esta luz tendría $\lambda_0 = c/f = 693\,\text{nm}$ (roja) y en el agua mide $524\,\text{nm}$ .