Una espira cuadrada de lado a = 2\,\text{m} se sitúa en el plano XY, y se activa un campo magnético en la dirección Z positiva. Este campo es variable en el tiempo, y su módulo en tesla se expresa como B(t) = 0{,}04\,t^2. Detectamos que aparece en la espira una corriente inducida de 200\,\text{mA} cuando t = 10\,\text{s}. a) Determina razonadamente la resistencia de la espira e indica en un esquema el sentido que tendrá la corriente. b) Razona cuánto valdría la corriente inducida en los siguientes casos: - Se cambia la dirección del campo de modo que forme 60^\circ con el eje Z. - La espira se coloca en el plano XZ. - La espira se coloca en el plano YZ. c) Volviendo al caso en que está colocada en XY y el campo a lo largo de Z, ocurre que como la corriente inducida circula en presencia del mencionado campo externo, sobre cada tramo de la espira aparecerá una fuerza. Calcúlala en t = 3\,\text{s} indicando módulo, dirección y sentido para cada tramo del cuadrado; y determina la fuerza total que sufrirá la espira.

FísicaDifícilProblema · 3 pts

Inducción electromagnética

Castilla-La Mancha · 2023 · Junio

Enunciado

Una espira cuadrada de lado

a = 2\,\text{m}

se sitúa en el plano

XY

, y se activa un campo magnético en la dirección

Z

positiva. Este campo es variable en el tiempo, y su módulo en tesla se expresa como

B(t) = 0{,}04\,t^2

. Detectamos que aparece en la espira una corriente inducida de

200\,\text{mA}

cuando

t = 10\,\text{s}

Espira cuadrada de lado a en el plano XY con el campo B según el eje Z

a) Determina razonadamente la resistencia de la espira e indica en un esquema el sentido que tendrá la corriente.

b) Razona cuánto valdría la corriente inducida en los siguientes casos:

Se cambia la dirección del campo de modo que forme $60^\circ$ con el eje $Z$ .
La espira se coloca en el plano $XZ$ .
La espira se coloca en el plano $YZ$ .

c) Volviendo al caso en que está colocada en

XY

y el campo a lo largo de

Z

, ocurre que como la corriente inducida circula en presencia del mencionado campo externo, sobre cada tramo de la espira aparecerá una fuerza. Calcúlala en

t = 3\,\text{s}

indicando módulo, dirección y sentido para cada tramo del cuadrado; y determina la fuerza total que sufrirá la espira.

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Resultado

\boxed{\;R = 16\ \Omega,\ \text{corriente en sentido horario vista desde } +Z\;}

\boxed{\;I_{60^\circ} = 100\ \text{mA}\qquad I_{XZ} = I_{YZ} = 0\;}

\boxed{\;F = 0{,}0432\ \text{N en cada lado, perpendicular a él y hacia dentro}\qquad \vec F_{\text{total}} = \vec 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El flujo es

\Phi = B\,S\cos\theta

, con

\theta

el ángulo entre

\vec B

y la normal a la espira. La ley de Faraday da la f.e.m. (

\varepsilon = -d\Phi/dt

) y, con la corriente, la resistencia. El sentido lo fija la ley de Lenz. En b) solo cambia

\cos\theta

. En c), cada lado sufre

\vec F = I\,\vec L\times\vec B

Desarrollo

a) Con

S = a^2 = 4\,\text{m}^2

\vec B

perpendicular a la espira:

\Phi(t) = B\,S = 0{,}04\,t^2\cdot 4 = 0{,}16\,t^2\ \text{Wb} \qquad \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -0{,}32\,t\ \text{V}

t = 10\,\text{s}

|\varepsilon| = 3{,}2\,\text{V}

, y

R = \frac{|\varepsilon|}{I} = \frac{3{,}2}{0{,}2} = 16\ \Omega

Sentido: el flujo hacia

+Z

aumenta; la corriente inducida crea un campo hacia

-Z

que se opone a ese aumento (Lenz). Mirando la espira desde arriba (desde

+Z

), la corriente circula en sentido horario.

b) La resistencia no cambia, así que la corriente es proporcional al flujo:

Campo a $60^\circ$ del eje $Z$ (de la normal): $\Phi = B\,S\cos 60^\circ$ , la mitad. La corriente también se reduce a la mitad: $I = 100\,\text{mA}$ en $t = 10\,\text{s}$ .
Espira en el plano $XZ$ : su normal es el eje $Y$ , perpendicular a $\vec B$ . Flujo nulo: $I = 0$ .
Espira en el plano $YZ$ : su normal es el eje $X$ , también perpendicular a $\vec B$ : $I = 0$ .

c) En

t = 3\,\text{s}

B = 0{,}04\cdot 3^2 = 0{,}36\ \text{T}\qquad |\varepsilon| = 0{,}32\cdot 3 = 0{,}96\ \text{V}\qquad I = \frac{0{,}96}{16} = 0{,}06\ \text{A}

Cada lado mide

2\,\text{m}

y es perpendicular a

\vec B

F = I\,a\,B = 0{,}06\cdot 2\cdot 0{,}36 = 0{,}0432\ \text{N}

Con la espira entre

(0,0)

(a,a)

y la corriente en sentido horario visto desde

+Z

Lado $y = a$ (corriente hacia $+X$ ): $\vec F = I a\,(\vec i\times\vec k)B = -0{,}0432\,\vec j\ \text{N}$ .
Lado $x = a$ (corriente hacia $-Y$ ): $\vec F = I a\,(-\vec j\times\vec k)B = -0{,}0432\,\vec i\ \text{N}$ .
Lado $y = 0$ (corriente hacia $-X$ ): $\vec F = +0{,}0432\,\vec j\ \text{N}$ .
Lado $x = 0$ (corriente hacia $+Y$ ): $\vec F = +0{,}0432\,\vec i\ \text{N}$ .

Todas apuntan hacia el interior del cuadrado: tienden a comprimir la espira para reducir su área, oponiéndose al aumento del flujo (otra vez Lenz). Las cuatro se anulan dos a dos:

\vec F_{\text{total}} = \vec 0

Consejo

En las fuerzas sobre la espira, comprueba el resultado con Lenz: si el flujo aumenta, las fuerzas intentan encoger la espira; si disminuye, estirarla. Y en un campo uniforme la fuerza neta sobre una espira cerrada siempre es nula.

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