FísicaMedioProblema · 3 pts

Campo y potencial gravitatorio

También trata: Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla-La Mancha · 2023 · Junio

Enunciado

La Tierra tiene una masa de

5{,}98\cdot 10^{24}\,\text{kg}

, y la Luna

7{,}35\cdot 10^{22}\,\text{kg}

. La distancia entre los centros de ambos astros es

3{,}84\cdot 10^8\,\text{m}

. Una nave de

3\cdot 10^4\,\text{kg}

viaja entre ellos.

a) ¿Qué energía potencial tiene la Luna debida a la Tierra? ¿Cuál es su periodo (en días)?

b) Determina a qué distancia de la Tierra, en la línea que la une con la Luna, las fuerzas gravitatorias que ambos cuerpos ejercen sobre la nave se cancelan.

c) Si en el punto de equilibrio anterior le damos a la nave una velocidad de

1\,\text{km/s}

, ¿cuánto valdrá su energía mecánica total?

Datos:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;E_p = -7{,}63\cdot 10^{28}\ \text{J}\qquad T = 27{,}4\ \text{días}\;}

\boxed{\;x = 3{,}46\cdot 10^8\ \text{m de la Tierra}\qquad E_m = -2{,}35\cdot 10^{10}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La energía potencial de dos masas es

E_p = -GMm/d

. Para el periodo, la Luna describe (aproximadamente) una órbita circular en la que la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta. En el punto de equilibrio, los módulos de las dos atracciones son iguales; conviene igualar y sacar la raíz. La energía mecánica de la nave suma su energía cinética y la potencial que tiene con los dos astros.

Desarrollo

a) Energía potencial del sistema Tierra-Luna:

E_p = -\frac{G M_T M_L}{d} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 7{,}35\cdot 10^{22}}{3{,}84\cdot 10^8} = -7{,}63\cdot 10^{28}\ \text{J}

Periodo de la órbita:

\frac{G M_T M_L}{d^2} = M_L\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,d \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{d^3}{G M_T}} = 2\pi\sqrt{\frac{(3{,}84\cdot 10^8)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}} = 2{,}37\cdot 10^6\ \text{s}

T = \frac{2{,}37\cdot 10^6}{86\,400} = 27{,}4\ \text{días}

b) Sea

x

la distancia a la Tierra. Las atracciones tienen sentidos opuestos y se anulan cuando sus módulos son iguales:

\frac{G M_T m}{x^2} = \frac{G M_L m}{(d - x)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d - x}{x} = \sqrt{\frac{M_L}{M_T}} = \sqrt{\frac{7{,}35\cdot 10^{22}}{5{,}98\cdot 10^{24}}} = 0{,}111

x = \frac{d}{1 + 0{,}111} = \frac{3{,}84\cdot 10^8}{1{,}111} = 3{,}46\cdot 10^8\ \text{m}

d - x = 3{,}83\cdot 10^7\,\text{m}

de la Luna.)

c) Energía cinética de la nave:

E_c = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12\cdot 3\cdot 10^4\cdot (10^3)^2 = 1{,}50\cdot 10^{10}\ \text{J}

Energía potencial con la Tierra y con la Luna:

E_p = -G m\left(\frac{M_T}{x} + \frac{M_L}{d - x}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3\cdot 10^4\left(\frac{5{,}98\cdot 10^{24}}{3{,}46\cdot 10^8} + \frac{7{,}35\cdot 10^{22}}{3{,}83\cdot 10^7}\right) = -3{,}85\cdot 10^{10}\ \text{J}

E_m = E_c + E_p = 1{,}50\cdot 10^{10} - 3{,}85\cdot 10^{10} = -2{,}35\cdot 10^{10}\ \text{J}

Consejo

En el punto de equilibrio el campo total es nulo, pero el potencial no: las dos energías potenciales son negativas y se suman. Es un error muy frecuente tomar $E_p = 0$ allí.