FísicaMedioProblema · 3 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

También trata: Campo magnético creado por corrientes

Castilla-La Mancha · 2023 · Julio

Enunciado

Un hilo rectilíneo muy largo que transporta una intensidad de

150\,\text{A}

se coloca en una región en la que hay un campo magnético uniforme en dirección eje

X

positivo de valor

B_0 = 0{,}2\,\text{T}

.

a) Razona si hay alguna orientación posible para el hilo de modo que no sufra fuerza magnética, y en qué orientaciones será máxima esta fuerza.

b) Determina la fuerza por unidad de longitud que sufrirá el hilo debido a este campo externo

B_0

, indicando módulo, dirección y sentido en los siguientes casos (incluye en tu respuesta un esquema aclaratorio, y ten en cuenta que en los esquemas adjuntos de los dos casos el punto de vista se ha cambiado para visualizar mejor las condiciones particulares de cada pregunta):

(b1) La corriente circula en la dirección del eje $Y$ positivo.
(b2) La corriente lleva la dirección de la bisectriz del plano $XY$ .

Apartado b1: hilo según el eje Y con el eje X saliendo del papel; apartado b2: hilo en la bisectriz del plano XY con el eje Z saliendo del papel

c) Queremos anular la fuerza en el caso (b1) añadiendo un segundo hilo paralelo por encima del anterior, en el plano

YZ

, y con la misma corriente. Determina a qué distancia habrá que colocarlo y si el sentido de la corriente tendrá que ser el mismo del hilo inicial o el contrario.

Datos:

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\text{T m/A}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F = 0 \text{ si el hilo es paralelo a } X;\ \text{máxima si es perpendicular a } X\;}

\boxed{\;\frac{\vec F}{L}\Big|_{b1} = -30\,\vec k\ \text{N/m}\qquad \frac{\vec F}{L}\Big|_{b2} = -21{,}2\,\vec k\ \text{N/m}\qquad d = 0{,}15\ \text{mm},\ \text{corrientes en el mismo sentido}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La fuerza sobre un tramo de hilo es

\vec F = I\,\vec L\times\vec B

, de módulo

I L B\,\text{sen}\,\theta

, con

\theta

el ángulo entre el hilo y el campo. Entre dos hilos paralelos, la fuerza por unidad de longitud es

\mu_0 I_1 I_2/(2\pi d)

: atractiva si las corrientes van en el mismo sentido y repulsiva si van en sentidos opuestos.

Desarrollo

F = I L B\,\text{sen}\,\theta

se anula si

\theta = 0^\circ

180^\circ

: el hilo paralelo al eje $X$ (en cualquiera de los dos sentidos) no sufre fuerza. Es máxima cuando

\theta = 90^\circ

: el hilo en cualquier dirección perpendicular al eje $X$ , es decir, contenido en el plano

YZ

.

b1) Corriente según

+\vec j

\frac{\vec F}{L} = I\,(\vec j\times\vec i)\,B_0 = -I B_0\,\vec k = -150\cdot 0{,}2\,\vec k = -30\,\vec k\ \text{N/m}

30\,\text{N/m}

dirigidos hacia el sentido negativo del eje

Z

(hacia abajo en el esquema b1).

b2) Corriente según la bisectriz,

\vec u = (\vec i + \vec j)/\sqrt 2

\frac{\vec F}{L} = I\,\frac{(\vec i + \vec j)\times\vec i}{\sqrt 2}\,B_0 = -\frac{I B_0}{\sqrt 2}\,\vec k = -21{,}2\,\vec k\ \text{N/m}

21{,}2\,\text{N/m}

(

= 30\,\text{sen}\,45^\circ

) hacia el sentido negativo del eje

Z

(entrando en el papel en el esquema b2).

c) Hace falta sobre el primer hilo una fuerza de

30\,\text{N/m}

hacia

+Z

, es decir, hacia el segundo hilo, que está encima: una atracción. Por tanto, la corriente del segundo hilo debe ir en el mismo sentido (

+Y

). La distancia sale de igualar módulos:

\frac{\mu_0 I^2}{2\pi d} = 30 \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{\mu_0 I^2}{2\pi\cdot 30} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 150^2}{2\pi\cdot 30} = 1{,}5\cdot 10^{-4}\ \text{m} = 0{,}15\ \text{mm}

Una distancia tan pequeña indica que

B_0

es un campo muy intenso comparado con el que crea un hilo de

150\,\text{A}

Consejo

Escribe siempre los vectores con $\vec i, \vec j, \vec k$ y haz el producto vectorial: con los esquemas girados de este problema, la regla de la mano derecha «a ojo» lleva fácilmente a errores.