FísicaFácil2,5 pts

Movimiento armónico simple

También trata: Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Cataluña · 2023 · Junio

Enunciado

Desde la playa, se observa que la distancia entre las crestas de dos olas consecutivas es de

4\ \text{m}

. Por otro lado, observando una de las boyas que limita la zona de baño, contamos que oscila 30 veces en un minuto y que su desplazamiento vertical total, desde la posición más baja hasta el punto más alto, es de

40\ \text{cm}

.

a) (1,25 puntos) Determine la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas. Escriba la ecuación del movimiento que describe la boya en función del tiempo.

b) (1,25 puntos) Deduzca la expresión de la velocidad y de la aceleración de la boya y calcule los valores máximos de la velocidad y la aceleración. Represente en una cuadrícula la evolución de la velocidad respecto al tiempo durante un periodo.

Nota: Para determinar la fase inicial considere que al principio la boya se encuentra en la posición más alta.

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Resultado

\boxed{\;f = 0{,}50\ \text{Hz}\;}\qquad \boxed{\;\lambda = 4\ \text{m}\;}\qquad \boxed{\;v = 2{,}00\ \text{m/s}\;}\qquad \boxed{\;y(t) = 0{,}2\sin\left(\pi t + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_{\text{máx}} = 0{,}628\ \text{m/s}\;}\qquad \boxed{\;a_{\text{máx}} = 1{,}97\ \text{m/s}^2\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,1 p. La longitud de onda es la distancia mínima que separa dos crestas:

\lambda = 4\ \text{m}

.

0,1 p. La frecuencia es el número de ciclos que se producen por segundo:

f = \dfrac{30\ \text{ciclos}}{60\ \text{s}} = 0{,}50\ \text{Hz}

.

0,2 p. La velocidad de propagación de la onda es:

v = \lambda f = 2{,}00\ \text{m/s}

.

0,2 p. La boya describirá un MAS:

y(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)

0,1 p. La separación entre una cresta y un valle es dos veces la amplitud:

A = 0{,}20\ \text{m}

.

0,1 p.

\omega = 2\pi f = \pi\ \text{rad/s}

0,2 p.

A = A\sin(\varphi_0) \Rightarrow \varphi_0 = \arcsin(1) = \pi/2\ \text{rad}

.

0,25 p. Así, la ecuación del movimiento de la boya es:

y(t) = 0{,}2\sin\left(\pi t + \frac{\pi}{2}\right),\quad t\ \text{en s},\ y\ \text{en m}

Alternativamente, se puede describir el MAS así:

x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)

. En este caso,

\varphi_0 = 0\ \text{rad}

.

b)

0,5 p.

v(t) = \frac{dy(t)}{dt} = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)

Entonces:

v(t) = 0{,}628\cos\left(\pi t + \frac{\pi}{2}\right),\quad t\ \text{en s},\ v\ \text{en m/s}

Dado que el valor máximo del coseno es 1:

v_{\text{máx}} = A\omega = 0{,}628\ \text{m/s}

0,25 p.

a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -A\omega^2\sin(\omega t + \varphi_0) = -y(t)\,\omega^2

a(t) = -1{,}97\sin\left(\pi t + \frac{\pi}{2}\right),\quad t\ \text{en s},\ a\ \text{en m/s}^2

Dado que el valor máximo de

-\sin(\omega t + \varphi_0)

es 1:

a_{\text{máx}} = A\omega^2 = 1{,}97\ \text{m/s}^2

0,5 p. Representación gráfica:

Velocidad (m/s) de la boya frente al tiempo (s) durante un periodo de 2 s: empieza en 0, baja a −0,628 m/s en t = 0,5 s y sube a 0,628 m/s en t = 1,5 s

No incluir el título en el eje resta 0,1 p.

No incluir las unidades en el eje resta 0,2 p.

Si, en la representación, la fase inicial no se corresponde con la de la ecuación deducida, resta 0,2 p.

No escalar o representar correctamente la gráfica se calificará con un cero.

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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