Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,1 p. El periodo en unidades del SI se expresa así:$$T = 7\ \text{h}\,\frac{3600\ \text{s}}{1\ \text{h}} + 39\ \text{min}\,\frac{60\ \text{s}}{1\ \text{min}} + 14\ \text{s} = 27\,554\ \text{s}$$La velocidad angular orbital de Fobos es:$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{27\,554} = 2{,}28\times 10^{-4}\ \text{rad/s}$$0,2 p. Según la ley de la gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre Fobos debida a la atracción de Marte es:$$F = G\,\frac{M_F M_M}{r^2}$$0,1 p. Y la segunda ley de Newton establece que: $\vec F = m\vec a$

0,2 p. Por otra parte, considerando que Fobos describe un movimiento circular uniforme alrededor de Marte, su aceleración centrípeta es: $a = \omega^2 r$

0,2 p. Como sobre Fobos solo actúa la fuerza de la gravedad:$$G\,\frac{M_F M_M}{r^2} = M_F\,\omega^2 r \;\Rightarrow\; M_M = \frac{\omega^2 r^3}{G} = \frac{(2{,}28\times 10^{-4})^2\,(9{,}377\times 10^{6})^3}{6{,}67\times 10^{-11}} = 6{,}43\times 10^{23}\ \text{kg}$$0,2 p. Según la ley de gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre un objeto de masa $m$ en la superficie de Marte se expresa así:$$F = G\,\frac{m M_M}{R_M^2}$$0,1 p. Y el módulo de la fuerza que experimenta un objeto de masa $m$ bajo la acción de un campo gravitatorio de intensidad $g$ es:$$F = m g$$Igualando las dos expresiones y dividiendo los dos lados por $m$ obtenemos:$$g = G\,\frac{M_M}{R_M^2}$$0,15 p. Por tanto, obtenemos:$$g = G\,\frac{M_M}{R_M^2} = 6{,}67\times 10^{-11}\,\frac{6{,}43\times 10^{23}}{(3{,}390\times 10^{6})^2} = 3{,}73\ \text{m/s}^2$$En el enunciado no se pide deducir la expresión anterior; por tanto, también se considerará correcto que el estudiante introduzca directamente la expresión $g = G\,\dfrac{M_M}{R_M^2}$.

b)

0,25 p. A partir de las relaciones del apartado anterior tenemos:$$G\,\frac{M_D M_M}{r^2} = M_D\,\omega^2 r \;\Rightarrow\; \omega = \sqrt{G\,\frac{M_M}{r^3}} = \sqrt{6{,}67\times 10^{-11}\,\frac{6{,}43\times 10^{23}}{(2{,}346\times 10^{7})^3}} = 5{,}76\times 10^{-5}\ \text{rad/s}$$0,25 p. Y el periodo de Deimos es:$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5{,}76\times 10^{-5}} = 1{,}09\times 10^{5}\ \text{s}$$Alternativamente:

0,5 p. A partir de la tercera ley de Kepler:$$\frac{T_D^2}{r_D^3} = \frac{T_F^2}{r_F^3} \;\Rightarrow\; T_D = T_F\sqrt{\frac{r_D^3}{r_F^3}} = 27\,554\left(\frac{2{,}346\times 10^{7}}{9{,}377\times 10^{6}}\right)^{3/2} = 1{,}09\times 10^{5}\ \text{s}$$0,25 p. La velocidad de Deimos es:$$v = \omega r = 5{,}76\times 10^{-5}\times 2{,}346\times 10^{7} = 1352\ \text{m/s}$$0,5 p. Y la energía mecánica es:$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}M_D v^2 - G\,\frac{M_D M_M}{r} = -1{,}83\times 10^{21}\ \text{J}$$