FísicaMedio2,5 pts

Efecto fotoeléctrico y cuantización

Cataluña · 2023 · Septiembre
Enunciado
Se desea construir un sensor de radiación ultravioleta que sea sensible a radiaciones de longitud de onda de 300 nm300\ \text{nm}. Se decide utilizar el efecto fotoeléctrico como principio del sensor. Así pues, se utilizará una célula fotoeléctrica que emita electrones. Para el buen funcionamiento de esta célula, es necesario que la energía mínima de los electrones emitidos sea de 1 eV1\ \text{eV}.

a) (1,25 puntos) Calcule la longitud de onda umbral del material que se debería utilizar para construir la célula.

b) (1,25 puntos) Rellene la tabla de abajo con los valores de la longitud de onda umbral de los tres materiales, dando el resultado en nanómetros. Si se puede escoger entre uno de los tres materiales mostrados en la tabla de abajo para construir la célula, ¿cuál elegiría? Justifique la respuesta.
ElementoSímboloFunción de trabajo (J)Longitud de onda umbral (nm)
TungstenoW8,36×10−198{,}36\times 10^{-19}
MagnesioMg5,86×10−195{,}86\times 10^{-19}
PotasioK3,67×10−193{,}67\times 10^{-19}
Datos: 1 eV=1,602×10−19 J1\ \text{eV} = 1{,}602\times 10^{-19}\ \text{J}. c=3,00×108 m s−1c = 3{,}00\times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}. h=6,63×10−34 J sh = 6{,}63\times 10^{-34}\ \text{J s}.
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Resultado
  λ0=396 nm    W: 238 nm; Mg: 339 nm; K: 542 nm    Se elige el potasio  \boxed{\;\lambda_0 = 396\ \text{nm}\;}\qquad \boxed{\;\text{W: } 238\ \text{nm};\ \text{Mg: } 339\ \text{nm};\ \text{K: } 542\ \text{nm}\;}\qquad \boxed{\;\text{Se elige el potasio}\;}
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Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a)

Si aplicamos el balance de energía del efecto fotoeléctrico tenemos:EC=hf−W0E_C = hf - W_0(0,3 p.)

La frecuencia de los fotones es:f=cλ=3,00×108300×10−9=1,00×1015 Hzf = \frac{c}{\lambda} = \frac{3{,}00\times 10^{8}}{300\times 10^{-9}} = 1{,}00\times 10^{15}\ \text{Hz}(0,2 p.)

Y la energía de los fotones es:hf=6,63×10−19 J⋅1 eV1,602×10−19 J=4,14 eVhf = 6{,}63\times 10^{-19}\ \text{J}\cdot\frac{1\ \text{eV}}{1{,}602\times 10^{-19}\ \text{J}} = 4{,}14\ \text{eV}(0,2 p.)

Por tanto, la función de trabajo que necesitamos para construir el sensor es:W0=hf−EC=4,14−1=3,14 eV⋅1,602×10−19 J1 eV=5,03×10−19 JW_0 = hf - E_C = 4{,}14 - 1 = 3{,}14\ \text{eV}\cdot\frac{1{,}602\times 10^{-19}\ \text{J}}{1\ \text{eV}} = 5{,}03\times 10^{-19}\ \text{J}(0,2 p.)

La frecuencia umbral es:f0=W0h=7,58×1014 Hzf_0 = \frac{W_0}{h} = 7{,}58\times 10^{14}\ \text{Hz}(0,1 p.)

Y, finalmente, la longitud de onda umbral es:λ0=cf0=3,00×1087,58×1014=3,96×10−7 m⋅109 nm1 m=396 nm\lambda_0 = \frac{c}{f_0} = \frac{3{,}00\times 10^{8}}{7{,}58\times 10^{14}} = 3{,}96\times 10^{-7}\ \text{m}\cdot\frac{10^{9}\ \text{nm}}{1\ \text{m}} = 396\ \text{nm}(0,25 p.)

b)

La frecuencia umbral es:f0=W0hf_0 = \frac{W_0}{h}Y la longitud de onda umbral se expresa como:λ0=cf0=hcW0\lambda_0 = \frac{c}{f_0} = \frac{hc}{W_0}Entonces, para el tungsteno:λ0=hcW0=6,63×10−34⋅3,00×1088,36×10−19=2,38×10−7 m⋅109 nm1 m=238 nm\lambda_0 = \frac{hc}{W_0} = \frac{6{,}63\times 10^{-34}\cdot 3{,}00\times 10^{8}}{8{,}36\times 10^{-19}} = 2{,}38\times 10^{-7}\ \text{m}\cdot\frac{10^{9}\ \text{nm}}{1\ \text{m}} = 238\ \text{nm}para el magnesio:λ0=hcW0=6,63×10−34⋅3,00×1085,86×10−19=3,39×10−7 m⋅109 nm1 m=339 nm\lambda_0 = \frac{hc}{W_0} = \frac{6{,}63\times 10^{-34}\cdot 3{,}00\times 10^{8}}{5{,}86\times 10^{-19}} = 3{,}39\times 10^{-7}\ \text{m}\cdot\frac{10^{9}\ \text{nm}}{1\ \text{m}} = 339\ \text{nm}y para el potasio:λ0=hcW0=6,63×10−34⋅3,00×1083,67×10−19=5,42×10−7 m⋅109 nm1 m=542 nm\lambda_0 = \frac{hc}{W_0} = \frac{6{,}63\times 10^{-34}\cdot 3{,}00\times 10^{8}}{3{,}67\times 10^{-19}} = 5{,}42\times 10^{-7}\ \text{m}\cdot\frac{10^{9}\ \text{nm}}{1\ \text{m}} = 542\ \text{nm}
ElementoSímboloFunción de trabajo (J)Longitud de onda umbral (nm)
TungstenoW8,36×10−198{,}36\times 10^{-19}238
MagnesioMg5,86×10−195{,}86\times 10^{-19}339
PotasioK3,67×10−193{,}67\times 10^{-19}542
(0,5 p.)

Solo podemos utilizar el potasio, que tiene una longitud de onda umbral mayor que la que hemos determinado en el apartado a: λ0,Mg=542 nm>396 nm\lambda_{0,Mg} = 542\ \text{nm} > 396\ \text{nm}. Las longitudes de onda umbral del tungsteno y del potasio son demasiado pequeñas. (0,75 p.)

Corrección oficial en PDF (original en catalán)

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