Movimiento armónico simple

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Dado que el periodo de oscilación depende de la masa y de la constante elástica:$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \;\Rightarrow\; m = k\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$$A partir de la medida del periodo, y conocida la constante elástica, podemos determinar la masa de un cuerpo.

Es más, si en lugar de contar el tiempo que tarda en hacer una oscilación completa medimos el tiempo que tarda en hacer un cierto número de oscilaciones, mejoramos la precisión con la que determinamos el periodo y, de esta manera, podemos determinar con más precisión la masa del objeto. (0,6 p.)

Como el periodo solo depende de la masa y de la constante elástica, no depende de la intensidad del campo gravitatorio; la medida es la misma en la Tierra que en la Luna.

De hecho, en la Luna será un poco más precisa, ya que no tenemos el efecto de la fricción con el aire. (0,65 p.)

b)$$A = 0{,}06\ \text{m}\qquad \omega = 2\pi f = 20\pi\ \text{rad/s}$$(0,1 p.)

Primera opción

Ecuación del MAS:$$x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$$(0,1 p.)$$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)$$(0,2 p.)

entonces la velocidad máxima es:$$v_{\text{máx}} = A\omega = 3{,}77\ \text{m/s}$$(0,1 p.)$$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -A\omega^2\sin(\omega t + \varphi_0) = -x\,\omega^2$$(0,2 p.)

entonces la aceleración máxima es:$$a_{\text{máx}} = A\omega^2 = 237\ \text{m/s}^2$$(0,1 p.)

Si en $t = 0$ la aceleración es máxima, entonces $x$ es mínima, $x(t = 0) = -A$:$$-A = A\sin(\varphi_0) \;\Rightarrow\; \varphi_0 = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}\ \text{rad}$$(0,2 p.)

Finalmente, la ecuación del movimiento es:$$x(t) = 0{,}06\sin(20\pi t - \pi/2),\quad x\ \text{en m y}\ t\ \text{en s}$$(0,25 p.)

Alternativamente:

Ecuación del MAS:$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$$(0,1 p.)$$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$$(0,2 p.)

entonces la velocidad máxima es:$$v_{\text{máx}} = A\omega = 3{,}77\ \text{m/s}$$(0,1 p.)$$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0) = -x\,\omega^2$$(0,2 p.)

entonces la aceleración máxima es:$$a_{\text{máx}} = A\omega^2 = 237\ \text{m/s}^2$$(0,1 p.)

Si en $t = 0$ la aceleración es máxima, entonces $x$ es mínima, $x(t = 0) = -A$:$$-A = A\cos(\varphi_0) \;\Rightarrow\; \varphi_0 = \arccos(-1) = \pi\ \text{rad}$$(0,2 p.)

Finalmente, la ecuación del movimiento es:$$x(t) = 0{,}06\cos(20\pi t + \pi),\quad x\ \text{en m y}\ t\ \text{en s}$$(0,25 p.)