FísicaMedio2,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Cataluña · 2023 · Septiembre

Enunciado

En noviembre de 2021, la NASA lanzó la misión DART (Double Asteroid Redirection Test). Esta misión tiene por objetivo cambiar la órbita de Dimorphos, un pequeño asteroide que orbita alrededor de Didymos, que es un asteroide mayor.

Esquema de la misión DART: Dimorphos en su órbita original alrededor de Didymos y la nueva órbita, más pequeña, tras el impacto de la nave DART. La imagen no está a escala. Fuente: NASA

a) (1,25 puntos) A partir de la ley de la gravitación universal, encuentre la expresión de la intensidad del campo gravitatorio que crea un objeto astronómico esférico de masa

M

y radio

R

en su superficie. El diámetro de Didymos es de

781\ \text{m}

y su densidad es de

2\,146\ \text{kg/m}^3

. Calcule el valor de la intensidad del campo gravitatorio que crea Didymos en su superficie. Si Dimorphos tiene una masa de

4{,}42\times 10^{10}\ \text{kg}

y el radio orbital medio (distancia entre los centros de los dos objetos) es de

1{,}12\ \text{km}

, calcule el módulo de la fuerza gravitatoria media entre Didymos y Dimorphos.

b) (1,25 puntos) El objetivo de la misión DART es golpear a Dimorphos, de tal forma que orbite en una nueva órbita de radio menor, como se indica en la figura anterior. Deduzca, a partir de principios fundamentales, la expresión de la velocidad orbital de un satélite en función del radio de la órbita. Argumente si Dimorphos orbitará a mayor velocidad en la nueva órbita o en la órbita original.

Dato:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

.

Nota: Considere que las órbitas son circulares y que los dos asteroides son esféricos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;g = G\,\frac{M}{R^2} = 2{,}34\times 10^{-4}\ \text{m/s}^2\;}\qquad \boxed{\;F = 1{,}26\times 10^{6}\ \text{N}\;}

\boxed{\;v = \sqrt{G\,\frac{M_D}{R}}:\ \text{en la nueva órbita, de radio menor, va más rápido}\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Según la ley de gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre un objeto de masa

m

en la superficie de un objeto astronómico esférico de radio

R

y masa

M

se expresa como:

F = G\,\frac{mM}{R^2}

(0,2 p.)

Y el módulo de la fuerza que experimenta un objeto de masa

m

bajo la acción de un campo gravitatorio de intensidad

g

F = mg

Igualando las dos expresiones y dividiendo los dos lados por

m

obtenemos:

g = G\,\frac{M}{R^2}

(0,1 p.)

El radio de Didymos es

R_D = \dfrac{781}{2} = 390{,}5\ \text{m}

y su masa es:

M_D = V\cdot\rho = \frac{4}{3}\pi R_D^3\,\rho = \frac{4}{3}\pi\cdot 390{,}5^3\cdot 2146 = 5{,}35\times 10^{11}\ \text{kg}

(0,2 p.)

Por tanto, obtenemos:

g = G\,\frac{M_D}{R_D^2} = 6{,}67\times 10^{-11}\,\frac{5{,}35\times 10^{11}}{390{,}5^2} = 2{,}34\times 10^{-4}\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

(0,35 p.)

Según la ley de gravitación universal, el módulo de la fuerza es

F = G\,\frac{m M_D}{R^2} = 6{,}67\times 10^{-11}\,\frac{4{,}42\times 10^{10}\cdot 5{,}35\times 10^{11}}{1120^2} = 1{,}26\times 10^{6}\ \text{N}

(0,4 p.)

b)

Según la ley de gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre Dimorphos, de masa

m

, debida a la atracción de Didymos es:

F = G\,\frac{m M_D}{R^2}

(0,2 p.)

Y la segunda ley de Newton establece que:

\vec F = m\vec a

(0,2 p.)

Por otra parte, considerando que el satélite describe un movimiento circular uniforme alrededor de Didymos, su aceleración centrípeta es:

a = \dfrac{v^2}{R}

(0,2 p.)

Como sobre Dimorphos solo actúa la fuerza de la gravedad:

G\,\frac{m M_D}{R^2} = m\,\frac{v^2}{R} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{G\,\frac{M_D}{R}}

(0,25 p.)

Podemos comprobar que la velocidad es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio de la órbita; por tanto, si este radio disminuye, su inverso aumenta y, por tanto, la velocidad también será mayor, es decir, cuando el radio orbital disminuye, la velocidad orbital aumenta.

También se habría podido justificar a partir de la tercera ley de Kepler: