FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Andalucía · 2023 · Junio · Opción A

Enunciado

a) Considere un núcleo de

^{28}\text{Si}

y otro de

^{56}\text{Fe}

. La masa del núcleo de hierro es el doble que la del núcleo de silicio. Determine, de forma justificada, la relación entre sus longitudes de onda de De Broglie en las siguientes situaciones: i) si el momento lineal o cantidad de movimiento es el mismo para los dos; ii) si los dos núcleos se mueven con la misma energía cinética.

b) Los neutrones que se emiten en un proceso de fisión nuclear tienen una energía cinética de

1{,}6\cdot 10^{-13}\,\text{J}

. i) Determine razonadamente su longitud de onda de De Broglie y su velocidad. ii) Calcule la longitud de onda de De Broglie cuando la velocidad de los neutrones se reduce a la mitad.

Datos:

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}

;

m_n = 1{,}67\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

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Resultado

\boxed{\;\text{i) } \lambda_{\text{Si}} = \lambda_{\text{Fe}}\qquad \text{ii) } \lambda_{\text{Si}} = \sqrt{2}\,\lambda_{\text{Fe}}\;}

\boxed{\;\lambda = 2{,}87\cdot 10^{-14}\ \text{m}\qquad v = 1{,}38\cdot 10^{7}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad \lambda' = 5{,}74\cdot 10^{-14}\ \text{m}\;}

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Estrategia

Todo el ejercicio se apoya en elegir la forma adecuada de la longitud de onda de De Broglie según qué magnitud comparten las partículas:

\lambda = \frac{h}{p} \qquad\text{o}\qquad \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE_c}}

La primera cuando comparten momento lineal; la segunda cuando comparten energía cinética. Escogida la expresión correcta, cada apartado es una línea.

En b) ii) ni siquiera hace falta recalcular: si la velocidad se reduce a la mitad, el momento también, y la longitud de onda se duplica.

Desarrollo

a) i) La longitud de onda de De Broglie depende solo del momento lineal:

\lambda = \frac{h}{p}

Si ambos núcleos tienen el mismo

p

, tienen la misma longitud de onda:

\frac{\lambda_{\text{Si}}}{\lambda_{\text{Fe}}} = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda_{\text{Si}} = \lambda_{\text{Fe}}

La masa no interviene: no importa que el hierro sea el doble de masivo.

a) ii) Ahora comparten la energía cinética. Usando

E_c = p^2/2m

, es decir,

p = \sqrt{2mE_c}

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}} \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}

Con

m_{\text{Fe}} = 2\,m_{\text{Si}}

\frac{\lambda_{\text{Si}}}{\lambda_{\text{Fe}}} = \sqrt{\frac{m_{\text{Fe}}}{m_{\text{Si}}}} = \sqrt{2} = 1{,}41

El silicio, más ligero, tiene la longitud de onda $\sqrt{2}$ veces mayor.

b) i) Momento lineal de los neutrones a partir de su energía cinética:

p = \sqrt{2\,m_n\,E_c} = \sqrt{2\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-13}} = \sqrt{5{,}34\cdot 10^{-40}}

p = 2{,}31\cdot 10^{-20}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

Longitud de onda de De Broglie:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{2{,}31\cdot 10^{-20}} = 2{,}87\cdot 10^{-14}\ \text{m}

Velocidad:

v = \frac{p}{m_n} = \frac{2{,}31\cdot 10^{-20}}{1{,}67\cdot 10^{-27}} = 1{,}38\cdot 10^{7}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

(un

4{,}6\,\%

de la velocidad de la luz: el tratamiento clásico sigue siendo razonable).

b) ii) Si la velocidad se reduce a la mitad, el momento lineal también, y como

\lambda = h/p

es inversamente proporcional a

p

\lambda' = \frac{h}{p/2} = 2\,\lambda = 2\cdot 2{,}87\cdot 10^{-14}

\lambda' = 5{,}74\cdot 10^{-14}\ \text{m}

La longitud de onda se duplica.

Consejo

En a) i) la respuesta es que son iguales: $\lambda$ depende solo de $p$ . Mucha gente mete la masa por costumbre y contesta $\sqrt{2}$ en los dos apartados.

Y en b) ii) no repitas todo el cálculo: al reducirse $v$ a la mitad, $p$ se reduce a la mitad y $\lambda$ se duplica. Razonarlo así es más rápido y más seguro que volver a sustituir.