FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Núcleo atómico y reacciones nuclearesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

Enunciado

El mesón

J/\psi

tiene una vida media de

7{,}2\cdot10^{-21}\,\text{s}

en su sistema de referencia y de

1{,}1\cdot10^{-20}\,\text{s}

cuando se mueve a velocidad relativista respecto a un sistema de referencia ligado al laboratorio. Calcula razonadamente:

a) El valor de la velocidad respecto al laboratorio. (1 punto)

b) La energía cinética y la energía total, en MeV, en ambos sistemas de referencia. (1 punto)

Datos: masa (en reposo) del mesón

J/\psi

m_0 = 5{,}52\cdot10^{-27}\,\text{kg}

; velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot10^{8}\,\text{m/s}

; carga elemental,

q = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\gamma = \Delta t/\Delta t_0 = 1{,}53

, de donde

v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} = 2{,}27\cdot10^{8}\,\text{m/s}

(

0{,}756\,c

).

b) Sistema del mesón:

E_c = 0

E = m_0c^2 = 3105\,\text{MeV}

. Laboratorio:

E = \gamma\,m_0c^2 = 4744\,\text{MeV}

E_c = (\gamma - 1)\,m_0c^2 = 1639\,\text{MeV}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La vida media medida en el sistema del mesón es su tiempo propio; desde el laboratorio, donde el mesón se mueve, el tiempo se dilata. El cociente entre las dos vidas medias es el factor de Lorentz

\gamma

, y de él se despeja la velocidad. En b), en su propio sistema el mesón está en reposo: no tiene energía cinética y su energía total es la de reposo,

m_0c^2

. En el laboratorio la energía total es

\gamma\,m_0c^2

y la cinética, la diferencia.

Desarrollo

a) Dilatación del tiempo. El intervalo medido en el sistema en que el mesón está en reposo es el tiempo propio,

\Delta t_0 = 7{,}2\cdot10^{-21}\,\text{s}

. En el laboratorio se mide un intervalo mayor:

\Delta t = \gamma\,\Delta t_0,\qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

Factor de Lorentz.

\gamma = \frac{\Delta t}{\Delta t_0} = \frac{1{,}1\cdot10^{-20}}{7{,}2\cdot10^{-21}} = 1{,}528

Velocidad. Despejando

v

de la definición de

\gamma

v = c\,\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = 3\cdot10^{8}\sqrt{1 - \frac{1}{1{,}528^2}} = 3\cdot10^{8}\cdot0{,}756 = 2{,}27\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Es el

75{,}6\,\%

de la velocidad de la luz.

b) Energía en reposo. Con

1\,\text{MeV} = 1{,}6\cdot10^{-13}\,\text{J}

E_0 = m_0c^2 = 5{,}52\cdot10^{-27}\cdot(3\cdot10^{8})^2 = 4{,}97\cdot10^{-10}\,\text{J} = \frac{4{,}968\cdot10^{-10}}{1{,}6\cdot10^{-13}} = 3105\,\text{MeV}

Sistema del mesón. En él está en reposo:

E_c = 0,\qquad E = E_0 = m_0c^2 = 3105\,\text{MeV}

Sistema del laboratorio. La energía total es

E = \gamma\,m_0c^2 = 1{,}528\cdot3105 = 4744\,\text{MeV}

y la cinética, lo que excede a la de reposo:

E_c = E - m_0c^2 = (\gamma - 1)\,m_0c^2 = 0{,}528\cdot3105 = 1639\,\text{MeV}

Consejo

La clave de a) es decir cuál es el tiempo propio: el que mide un reloj que viaja con el mesón, el más corto. Si los cambias de lugar te sale $\gamma < 1$ , que es imposible: úsalo como comprobación.

A velocidades relativistas la energía cinética no es $\frac{1}{2}mv^2$ : es $(\gamma - 1)\,m_0c^2$ . Y piden MeV: divide los julios entre $1{,}6\cdot10^{-13}$ .