FísicaFácilProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

Enunciado

La función que representa una onda es

y(x,t) = 2\,\operatorname{sen}(\pi t - 8\pi x)

, donde

x

y

están expresadas en metros y

t

en segundos. Calcula razonadamente:

a) La amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda. (1 punto)

b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto situado a

1\,\text{m}

del foco emisor, para

t = 8\,\text{s}

. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = 2\,\text{m}

T = 2\,\text{s}

f = 0{,}5\,\text{Hz}

\lambda = 0{,}25\,\text{m}

.

b) Velocidad de propagación:

v = \omega/k = 0{,}125\,\text{m/s}

(hacia

x

positivas). Velocidad de vibración en

x = 1\,\text{m}

t = 8\,\text{s}

v_y = 2\pi\cos 0 = 6{,}28\,\text{m/s}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Comparamos la función con la forma general de una onda armónica,

y = A\operatorname{sen}(\omega t - kx)

: de ahí se leen

A

\omega

k

, y con ellos salen el periodo, la frecuencia y la longitud de onda. La velocidad de propagación es

\omega/k

\lambda/T

). La velocidad de vibración es otra cosa: es lo rápido que se mueve cada punto del medio arriba y abajo, y se obtiene derivando

y

respecto del tiempo.

Desarrollo

a) Comparación con la ecuación general. La onda armónica que avanza hacia

x

positivas es

y(x,t) = A\operatorname{sen}(\omega t - kx)

Comparando con

y = 2\operatorname{sen}(\pi t - 8\pi x)

A = 2\,\text{m}

\omega = \pi\,\text{rad/s}

k = 8\pi\,\text{rad/m}

. El signo menos entre los dos términos indica que se propaga en el sentido positivo del eje

X

.

Periodo y frecuencia.

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2\,\text{s}\qquad\qquad f = \frac{1}{T} = 0{,}5\,\text{Hz}

Longitud de onda.

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{8\pi} = 0{,}25\,\text{m}

b) Velocidad de propagación.

v = \frac{\omega}{k} = \frac{\lambda}{T} = \frac{\pi}{8\pi} = 0{,}125\,\text{m/s}

Velocidad de vibración. Es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con

x

fijo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 2\pi\cos(\pi t - 8\pi x)\ \text{m/s}

Para

x = 1\,\text{m}

t = 8\,\text{s}

v_y = 2\pi\cos(8\pi - 8\pi) = 2\pi\cos 0 = 2\pi = 6{,}28\,\text{m/s}

Es la velocidad máxima de vibración (

A\omega

): en ese instante el punto pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia arriba.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Razonadamente» quiere decir que escribas la ecuación general y digas de dónde sacas cada magnitud ( $T = 2\pi/\omega$ , $\lambda = 2\pi/k$ ): cada valor vale 0,25 y el número solo no basta.

No confundas las dos velocidades del apartado b): la de propagación es constante ( $\omega/k$ ) y la de vibración depende del punto y del instante (derivada de $y$ ).