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Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

Enunciado

Una carga puntual fija

q_1 = 10^{-9}\,\text{C}

se encuentra situada a

1\,\text{m}

de otra carga puntual fija

q_2 = -2\,q_1

.

a) Determina el punto de la recta que contiene las cargas en el cual el campo eléctrico es nulo. (1 punto)

b) Un protón con velocidad inicial nula se deja libre entre

q_1

q_2

, a

90\,\text{cm}

q_2

. Determina la diferencia de energía potencial del protón entre el punto inicial y un punto situado a

10\,\text{cm}

q_2

¿Qué velocidad tendrá el protón cuando alcance este último punto? (1 punto)

Datos: constante de Coulomb,

k = 9\cdot10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2

; masa del protón,

m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\,\text{kg}

; carga del protón,

q = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) El campo se anula a

2{,}41\,\text{m}

q_1

(

d = \sqrt2 + 1

), en el lado contrario a

q_2

, es decir, a

3{,}41\,\text{m}

q_2

.

b)

\Delta E_p = E_{p,f} - E_{p,i} = -3{,}84\cdot10^{-17}\,\text{J}

(la energía potencial disminuye). El protón llega con

v = 2{,}14\cdot10^{5}\,\text{m/s}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ponemos las cargas en un eje:

q_1

x = 0

q_2 = -2\cdot10^{-9}\,\text{C}

x = 1\,\text{m}

. En a) buscamos dónde los dos campos tienen sentidos opuestos y el mismo módulo. Como las cargas son de signo contrario, entre ellas los campos se suman; fuera, son opuestos, y solo pueden igualarse en el lado de la carga de menor valor absoluto,

q_1

. En b), el protón parte a 10 cm de

q_1

, que lo repele, y va hacia

q_2

, que lo atrae. Calculamos su energía potencial en los dos puntos y, por conservación de la energía, lo que pierde de potencial lo gana de cinética.

Desarrollo

a) Sentido de los campos por zonas. El campo de

q_1

(positiva) se aleja de ella; el de

q_2

(negativa) apunta hacia ella.

Entre las cargas ( $0 < x < 1$ ): $\vec E_1$ y $\vec E_2$ apuntan los dos hacia $q_2$ . Se suman: no se anulan.
A la derecha de $q_2$ ( $x > 1$ ): son opuestos, pero el punto está más cerca de $q_2$ , que tiene el doble de carga: siempre $E_2 > E_1$ .
A la izquierda de $q_1$ ( $x < 0$ ): son opuestos y el punto está más cerca de la carga pequeña. Solo aquí pueden igualarse.

Igualdad de módulos. Sea

d

la distancia del punto a

q_1

(a su izquierda); la distancia a

q_2

d + 1

k\,\frac{|q_1|}{d^2} = k\,\frac{|q_2|}{(d+1)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{d^2} = \frac{2}{(d+1)^2}\quad\Longrightarrow\quad (d+1)^2 = 2\,d^2

Como

d

d + 1

son positivos, tomamos la raíz positiva:

d + 1 = \sqrt2\,d\quad\Longrightarrow\quad d = \frac{1}{\sqrt2 - 1} = \sqrt2 + 1 = 2{,}41\,\text{m}

El campo se anula en el punto de la recta situado a

2{,}41\,\text{m}

q_1

, en el lado opuesto a

q_2

3{,}41\,\text{m}

q_2

x = -2{,}41\,\text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Energía potencial en cada punto. La energía potencial del protón (

q = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}

) en el campo de las dos cargas es

E_p = k\,q\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right)

Punto inicial, a

0{,}9\,\text{m}

q_2

0{,}1\,\text{m}

q_1

E_{p,i} = 9\cdot10^{9}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\left(\frac{10^{-9}}{0{,}1} - \frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}9}\right) = 1{,}12\cdot10^{-17}\,\text{J}

Punto final, a

0{,}1\,\text{m}

q_2

0{,}9\,\text{m}

q_1

E_{p,f} = 9\cdot10^{9}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\left(\frac{10^{-9}}{0{,}9} - \frac{2\cdot10^{-9}}{0{,}1}\right) = -2{,}72\cdot10^{-17}\,\text{J}

Diferencia de energía potencial.

\Delta E_p = E_{p,f} - E_{p,i} = -2{,}72\cdot10^{-17} - 1{,}12\cdot10^{-17} = -3{,}84\cdot10^{-17}\,\text{J}

La energía potencial del protón disminuye en

3{,}84\cdot10^{-17}\,\text{J}

(equivale a que el potencial pasa de

70\,\text{V}

-170\,\text{V}

). El movimiento es espontáneo: el campo hace trabajo positivo.

Velocidad final. Solo actúa la fuerza eléctrica, conservativa, y el protón parte del reposo:

\Delta E_c + \Delta E_p = 0\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}m_p v^2 = -\Delta E_p\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{-2\,\Delta E_p}{m_p}}

v = \sqrt{\frac{2\cdot3{,}84\cdot10^{-17}}{1{,}67\cdot10^{-27}}} = 2{,}14\cdot10^{5}\,\text{m/s}

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Consejo

En a), la mitad de la nota es el planteamiento: razona por zonas dónde los campos son opuestos y por qué el punto está del lado de la carga menor. Si resuelves la ecuación sin más y te sale el punto entre las cargas, descártalo explicando que ahí los campos se suman.

En b), cuidado con las distancias: el protón empieza a 90 cm de $q_2$ , o sea, a 10 cm de $q_1$ . Y deja claro el signo de $\Delta E_p$ : la energía potencial disminuye y se convierte en cinética.