Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

Datos en el SI. $R_P = 5\cdot10^{6}\,\text{m}$, $h = 4\cdot10^{5}\,\text{m}$; el radio de la órbita es$$r = R_P + h = 5{,}4\cdot10^{6}\,\text{m}$$El dato del campo en la órbita. El campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro es $g = GM/r^2$, así que$$GM = g\,r^2 = 7\cdot(5{,}4\cdot10^{6})^2 = 2{,}04\cdot10^{14}\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}$$a) Velocidad orbital. En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:$$\frac{GMm}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{g\,r}$$$$v = \sqrt{7\cdot5{,}4\cdot10^{6}} = 6{,}15\cdot10^{3}\,\text{m/s}$$Energía mecánica en la órbita. Es la suma de la energía cinética y la potencial gravitatoria (origen en el infinito). Usando $mv^2 = GMm/r$:$$E_m = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}\frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} = -\frac{1}{2}\,m\,g\,r$$$$E_m = -\frac{1}{2}\cdot2\cdot7\cdot5{,}4\cdot10^{6} = -3{,}78\cdot10^{7}\,\text{J}$$Es negativa: el fragmento está ligado al planeta.

b) Campo en la superficie. Con la misma masa del planeta, el campo va como $1/r^2$:$$g_0 = \frac{GM}{R_P^2} = g\left(\frac{r}{R_P}\right)^2 = 7\cdot\left(\frac{5{,}4\cdot10^{6}}{5\cdot10^{6}}\right)^2 = 8{,}16\,\text{m/s}^2$$Conservación de la energía mecánica. Desde que sale de la superficie hasta que está en la órbita, sobre el fragmento solo actúa la gravedad, que es conservativa:$$\frac{1}{2}m v_0^2 - \frac{GMm}{R_P} = E_m\quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{2\left(\frac{E_m}{m} + \frac{GM}{R_P}\right)}$$Velocidad de emisión. Con $GM/R_P = 2{,}04\cdot10^{14}/5\cdot10^{6} = 4{,}08\cdot10^{7}\,\text{J/kg}$ y $E_m/m = -1{,}89\cdot10^{7}\,\text{J/kg}$:$$v_0 = \sqrt{2\,(-1{,}89\cdot10^{7} + 4{,}08\cdot10^{7})} = \sqrt{4{,}38\cdot10^{7}} = 6{,}62\cdot10^{3}\,\text{m/s}$$Es mayor que la velocidad orbital: parte de la energía cinética inicial se ha invertido en subir hasta la órbita.