Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Junio

Velocidad orbital. Un satélite de masa $m$ gira en una órbita circular de radio $r$ alrededor de un planeta de masa $M$. La única fuerza que actúa es la gravitatoria, que hace de fuerza centrípeta:$$\frac{GMm}{r^2} = m\,\frac{v_o^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$No depende de la masa del satélite.

Velocidad de escape desde la órbita. La fuerza gravitatoria es conservativa, así que la energía mecánica se conserva. La velocidad mínima para alejarse indefinidamente es la que hace llegar el satélite al infinito (donde $E_p = 0$) con velocidad nula, es decir, con energía mecánica nula:$$\frac{1}{2}m v_e^2 - \frac{GMm}{r} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt2\;v_o$$¿Qué pasa con $v = 1{,}5\,v_o$? (El enunciado dice «¿continuará dicho planeta…?», pero se refiere al satélite, como en la versión en valenciano.) Como $\sqrt2 \approx 1{,}41$, la nueva velocidad supera a la de escape desde esa órbita: $1{,}5\,v_o > 1{,}41\,v_o = v_e$. Lo comprobamos con la energía mecánica tras el impulso:$$E_m = \frac{1}{2}m\,(1{,}5\,v_o)^2 - \frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}m\cdot 2{,}25\,\frac{GM}{r} - \frac{GMm}{r} = 0{,}125\,\frac{GMm}{r} > 0$$Con energía mecánica positiva el satélite no queda ligado al planeta: no describe ninguna órbita cerrada y se aleja indefinidamente (sigue una trayectoria abierta, hiperbólica).