FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Efecto fotoeléctrico y cuantizaciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Enunciado

En un experimento de efecto fotoeléctrico, al incidir luz con longitud de onda

\lambda_1 = 550\,\text{nm}

se obtiene una velocidad máxima de los electrones

v = 296\,\text{km/s}

. Calcula razonadamente:

a) El trabajo de extracción del metal sobre el que incide la luz (en eV) y la longitud de onda umbral. (1 punto)

b) El momento lineal y la longitud de onda de De Broglie asociada, en nanómetros, de los electrones que salen con velocidad máxima. (1 punto)

Datos: carga eléctrica elemental

q = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

; velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m/s}

; constante de Planck

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}

; masa electrón

m = 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

W_0 = hc/\lambda_1 - \tfrac12 mv^2 = 3{,}22\cdot10^{-19}\,\text{J} = 2{,}01\,\text{eV}

; longitud de onda umbral

\lambda_0 = hc/W_0 = 6{,}18\cdot10^{-7}\,\text{m} = 618\,\text{nm}

.

b)

p = mv = 2{,}69\cdot10^{-25}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}

;

\lambda = h/p = 2{,}46\,\text{nm}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La ecuación de Einstein reparte la energía de cada fotón entre el trabajo de extracción y la energía cinética máxima del electrón. Conocemos la energía del fotón (por su longitud de onda) y la cinética (por la velocidad), así que el trabajo de extracción sale de restar. La longitud de onda umbral es la de un fotón con energía justo igual a ese trabajo. En b), los electrones van mucho más despacio que la luz, así que su momento es el clásico,

p = mv

, y De Broglie da

\lambda = h/p

Desarrollo

a) Ecuación de Einstein.

E_{\text{fotón}} = W_0 + E_{c,\text{máx}}\qquad\text{con}\qquad E_{\text{fotón}} = \frac{hc}{\lambda_1},\quad E_{c,\text{máx}} = \frac12\,m v^2

Energía del fotón.

E_{\text{fotón}} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{550\cdot10^{-9}} = 3{,}616\cdot10^{-19}\,\text{J}

Energía cinética máxima. Con

v = 296\,\text{km/s} = 2{,}96\cdot10^{5}\,\text{m/s}

E_{c,\text{máx}} = \frac12\cdot 9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(2{,}96\cdot10^{5})^2 = 3{,}99\cdot10^{-20}\,\text{J}

Trabajo de extracción.

W_0 = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac12\,m v^2 = 3{,}616\cdot10^{-19} - 0{,}399\cdot10^{-19} = 3{,}22\cdot10^{-19}\,\text{J}

En electronvoltios, dividiendo entre la carga elemental (

1\,\text{eV} = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{J}

W_0 = \frac{3{,}22\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 2{,}01\,\text{eV}

Longitud de onda umbral. Es la de un fotón con la energía mínima para arrancar electrones,

hc/\lambda_0 = W_0

\lambda_0 = \frac{hc}{W_0} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{3{,}22\cdot10^{-19}} = 6{,}18\cdot10^{-7}\,\text{m} = 618\,\text{nm}

Es mayor que

550\,\text{nm}

, como debe ser: la luz usada tiene más energía que la umbral.

b) Momento lineal. Como

v \ll c

, basta la expresión clásica:

p = m v = 9{,}1\cdot10^{-31}\cdot 2{,}96\cdot10^{5} = 2{,}69\cdot10^{-25}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}

Longitud de onda de De Broglie.

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{2{,}69\cdot10^{-25}} = 2{,}46\cdot10^{-9}\,\text{m} = 2{,}46\,\text{nm}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Pasa los km/s a m/s y los nm a m antes de nada: con $v = 296$ en vez de $2{,}96\cdot10^{5}$ la energía cinética te sale $10^{6}$ veces menor.

Comprueba que $\lambda_0 > \lambda_1$ : si la umbral te sale menor que la luz que sí arranca electrones, hay un error de signo o de unidades.