FísicaDifícilProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Óptica geométrica: lentes y espejosSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

Enunciado

A partir de un objeto de 15 cm se desea obtener una imagen invertida de tamaño 0,75 m sobre una pantalla. Para ello se dispone de una lente convergente de 4 dioptrías.

a) ¿Dónde hay que colocar el objeto respecto a la lente? ¿Dónde hay que colocar la pantalla? Realiza un trazado de rayos esquemático que represente lo calculado. (1 punto)

b) Supongamos que se rompe la lente anterior y la cambiamos por otra cuya distancia focal imagen es la mitad que la del apartado a). ¿Cuál es la potencia de la nueva lente? Si la distancia entre el objeto y la pantalla es 1,0 m, determina la menor distancia a la que hay que situar la lente del objeto para obtener una imagen enfocada en la pantalla. (1 punto)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

a) El objeto, a

30\,\text{cm}

delante de la lente (

s = -0{,}30\,\text{m}

); la pantalla, a

1{,}5\,\text{m}

detrás (

s' = 1{,}5\,\text{m}

). Imagen real, invertida y cinco veces mayor.

b)

P = 8\,\text{D}

. Con objeto y pantalla a

1{,}0\,\text{m}

hay dos posiciones de la lente; la más cercana al objeto está a

\dfrac{2-\sqrt2}{4} \approx 0{,}146\,\text{m} = 14{,}6\,\text{cm}

(la otra, a

85{,}4\,\text{cm}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) conocemos el aumento lateral (imagen invertida y cinco veces mayor,

m = -5

), que relaciona

s'

con

s

; junto con la ecuación de las lentes, son dos ecuaciones con dos incógnitas. En b) la nueva focal es la mitad, así que la potencia es el doble. Ahora la condición es que objeto y pantalla estén separados 1 m:

s' - s = 1\,\text{m}

. Con la ecuación de las lentes sale una ecuación de segundo grado con dos posiciones posibles de la lente, y nos quedamos con la más cercana al objeto.

Desarrollo

a) Focal de la lente. Con

P = 4\,\text{D}

f' = \frac1P = \frac14 = 0{,}25\,\text{m}

Aumento lateral. La imagen es invertida (

y' < 0

) y mide

0{,}75\,\text{m}

con un objeto de

0{,}15\,\text{m}

m = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = \frac{-0{,}75}{0{,}15} = -5\quad\Longrightarrow\quad s' = -5\,s

Ecuación de Gauss. Sustituimos

s' = -5s

\dfrac1{s'} - \dfrac1s = \dfrac1{f'}

-\frac{1}{5s} - \frac1s = \frac1{f'}\quad\Longrightarrow\quad -\frac{6}{5s} = \frac1{f'}\quad\Longrightarrow\quad s = -\frac{6f'}{5} = -\frac{6\cdot0{,}25}{5} = -0{,}30\,\text{m}

s' = -5\,s = 1{,}5\,\text{m}

El objeto se coloca a

30\,\text{cm}

delante de la lente (entre

f'

2f'

) y la pantalla a

1{,}5\,\text{m}

detrás.

Trazado de rayos. Se dibuja la lente convergente con sus focos a

25\,\text{cm}

a cada lado y el objeto vertical a

30\,\text{cm}

a la izquierda, algo más allá del foco objeto. Basta con dos rayos desde la punta del objeto: uno paralelo al eje, que tras la lente pasa por el foco imagen

F'

, y otro que pasa por el centro óptico sin desviarse. Se cortan a la derecha, a

1{,}5\,\text{m}

de la lente, por debajo del eje: la imagen es real, invertida y mayor que el objeto.

Lente convergente con el objeto entre F y 2F: los rayos se cortan al otro lado, más allá de 2F′, por debajo del eje: imagen real, invertida y mayor

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Nueva lente. La focal es la mitad,

f'_2 = 0{,}125\,\text{m}

P_2 = \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{0{,}125} = 8\,\text{D}

Planteamiento. Llamamos

d = -s > 0

a la distancia del objeto a la lente. Como objeto y pantalla están a

1{,}0\,\text{m}

s' = 1 - d

. La ecuación de Gauss queda:

\frac{1}{1-d} + \frac{1}{d} = 8\quad\Longrightarrow\quad d + (1-d) = 8\,d\,(1-d)\quad\Longrightarrow\quad 8d^2 - 8d + 1 = 0

Solución.

d = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{16} = \frac{2 \pm \sqrt2}{4}\quad\Longrightarrow\quad d_1 = 0{,}854\,\text{m},\quad d_2 = 0{,}146\,\text{m}

Las dos son válidas (en ambas el objeto está más allá del foco,

d > 0{,}125\,\text{m}

, y la imagen es real): son posiciones simétricas, intercambiando objeto e imagen. La menor distancia es

d_2 = \frac{2-\sqrt2}{4} = 0{,}146\,\text{m} \approx 14{,}6\,\text{cm}

con la pantalla a

s' = 1 - 0{,}146 = 0{,}854\,\text{m}

de la lente (imagen invertida y unas 5,8 veces mayor).

Consejo

«Invertida» es el signo menos del aumento: $m = -5$ . Si usas $m = +5$ , el objeto te sale entre el foco y la lente y la imagen sería virtual, imposible de recoger en una pantalla.

En b), escribe la condición $s' - s = 1\,\text{m}$ con los signos del convenio y comenta que hay dos soluciones antes de elegir la menor: el corrector puntúa el planteamiento (0,3) aparte de la solución.