Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

a) Campo de una carga puntual. En un punto a distancia $r$ de la carga $q$,$$\vec E = k\,\frac{q}{r^2}\,\vec u_r$$con $\vec u_r$ el vector unitario que va de la carga al punto.

Campo de $q_1$. De $A\,(3,-4)$ a $O$: $\vec r_1 = -3\,\vec\imath + 4\,\vec\jmath$, $r_1 = 5\,\text{m}$, $\vec u_1 = -0{,}6\,\vec\imath + 0{,}8\,\vec\jmath$.$$\vec E_1 = \frac{9\cdot10^{9}\cdot(-5\cdot10^{-6})}{25}\,(-0{,}6\,\vec\imath + 0{,}8\,\vec\jmath) = -1800\,(-0{,}6\,\vec\imath + 0{,}8\,\vec\jmath) = 1080\,\vec\imath - 1440\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$$Apunta de $O$ hacia $A$, hacia la carga negativa. Su módulo es $1800\,\text{N/C}$.

Campo de $q_2$. De $B\,(0,-5)$ a $O$: $\vec r_2 = 5\,\vec\jmath$, $r_2 = 5\,\text{m}$, $\vec u_2 = \vec\jmath$.$$\vec E_2 = \frac{9\cdot10^{9}\cdot 4\cdot10^{-6}}{25}\,\vec\jmath = 1440\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$$Apunta hacia arriba, alejándose de la carga positiva.

Campo total.$$\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = 1080\,\vec\imath + (-1440 + 1440)\,\vec\jmath = 1080\,\vec\imath\ \ \text{N/C}$$Las componentes verticales se anulan y queda un campo horizontal de $1080\,\text{N/C}$ hacia $+x$.

Representación. En el origen: $\vec E_1$ dirigido hacia abajo y a la derecha, hacia el punto $(3,-4)$; $\vec E_2$ vertical hacia arriba (sentido contrario a $B$), con la misma componente vertical que $\vec E_1$ pero cambiada de signo; y el total $\vec E$, sobre el semieje $x$ positivo.

b) Potencial total. El potencial es escalar y se suma con signo:$$V_O = k\,\frac{q_1}{r_1} + k\,\frac{q_2}{r_2} = \frac{9\cdot10^{9}}{5}\,(-5\cdot10^{-6} + 4\cdot10^{-6}) = -1800\,\text{V}$$Trabajo para traer $Q$ desde el infinito. El trabajo que debe hacer un agente externo para llevar $Q$, sin variar su energía cinética, desde el infinito ($V_\infty = 0$) hasta $O$ es el aumento de su energía potencial:$$W_{\text{ext}} = Q\,(V_O - V_\infty) = 1\cdot10^{-6}\cdot(-1800 - 0) = -1{,}8\cdot10^{-3}\,\text{J}$$El trabajo necesario es negativo: no hace falta empujar la carga; es el propio campo el que realiza un trabajo positivo, $W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = +1{,}8\cdot10^{-3}\,\text{J}$, porque la carga positiva $Q$ es atraída hacia una zona de potencial negativo.