FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Comunitat Valenciana · 2022 · Julio
Enunciado
Una sonda espacial de masa 800 kg800\,\text{kg} se coloca en órbita circular de radio 6500 km6500\,\text{km} alrededor de Venus. Si la energía cinética de la sonda es de 2⋅1010 J2\cdot 10^{10}\,\text{J}:

a) Deduce la expresión de la velocidad orbital de la sonda y calcula la masa de Venus. (1 punto)

b) Si Venus es un planeta esférico de densidad ρ=5,24 g/cm3\rho = 5{,}24\,\text{g/cm}^3 obtén la altura, en kilómetros, a la que hay que situar un cuerpo para que la fuerza de atracción gravitatoria que realiza Venus sobre este cuerpo sea un 36% menor que la ejercida en su superficie. (1 punto)

Dato: constante de gravitación universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2.
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Resultado
a) v=GM/rv = \sqrt{GM/r}; con v=2Ec/m=7071 m/sv = \sqrt{2E_c/m} = 7071\,\text{m/s}, la masa de Venus es M=v2r/G=4,87⋅1024 kgM = v^2r/G = 4{,}87\cdot10^{24}\,\text{kg}.

b) F=0,64 F0F = 0{,}64\,F_0 da r=1,25 Rr = 1{,}25\,R. El radio de Venus es R=3M/(4πρ)3=6055 kmR = \sqrt[3]{3M/(4\pi\rho)} = 6055\,\text{km}, así que la altura es h=0,25 R≈1514 kmh = 0{,}25\,R \approx 1514\,\text{km}.
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Estrategia

En a), igualar la fuerza gravitatoria con la centrípeta da la velocidad orbital en función de la masa del planeta; la energía cinética nos da la velocidad, y al revés sale la masa. En b), la fuerza gravitatoria va como 1/r21/r^2: que sea un 36 % menor significa que vale el 64 % de la de la superficie, y eso fija el cociente R/rR/r. Falta el radio de Venus, que sale de su masa y su densidad.
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Desarrollo

a) Velocidad orbital. En la órbita circular de radio rr, la atracción de Venus (masa MM) es la fuerza centrípeta sobre la sonda (masa mm):GMmr2=m v2r⟹v=GMr\frac{GMm}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{GM}{r}}Velocidad a partir de la energía cinética.Ec=12 mv2⟹v=2Ecm=2⋅2⋅1010800=5⋅107=7071 m/sE_c = \frac12\,m v^2\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2\cdot10^{10}}{800}} = \sqrt{5\cdot10^{7}} = 7071\,\text{m/s}Masa de Venus. Despejando de la velocidad orbital, con r=6500 km=6,5⋅106 mr = 6500\,\text{km} = 6{,}5\cdot10^{6}\,\text{m}:M=v2 rG=2Ec rm G=5⋅107⋅6,5⋅1066,67⋅10−11=4,87⋅1024 kgM = \frac{v^2\,r}{G} = \frac{2E_c\,r}{m\,G} = \frac{5\cdot10^{7}\cdot 6{,}5\cdot10^{6}}{6{,}67\cdot10^{-11}} = 4{,}87\cdot10^{24}\,\text{kg}b) Relación entre las fuerzas. La fuerza sobre un cuerpo de masa m′m' a distancia rr del centro es F=GMm′/r2F = GMm'/r^2, y en la superficie F0=GMm′/R2F_0 = GMm'/R^2. Un 36 % menor significa F=0,64 F0F = 0{,}64\,F_0 (igual para las intensidades de campo, g=0,64 g0g = 0{,}64\,g_0):FF0=R2r2=0,64⟹Rr=0,8⟹r=R0,8=1,25 R\frac{F}{F_0} = \frac{R^2}{r^2} = 0{,}64\quad\Longrightarrow\quad \frac{R}{r} = 0{,}8\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{R}{0{,}8} = 1{,}25\,RRadio de Venus. Con la masa del apartado a) y la densidad ρ=5,24 g/cm3=5240 kg/m3\rho = 5{,}24\,\text{g/cm}^3 = 5240\,\text{kg/m}^3:ρ=M43πR3⟹R=3M4πρ3=3⋅4,87⋅10244π⋅52403=6,05⋅106 m\rho = \frac{M}{\frac43\pi R^3}\quad\Longrightarrow\quad R = \sqrt[3]{\frac{3M}{4\pi\rho}} = \sqrt[3]{\frac{3\cdot4{,}87\cdot10^{24}}{4\pi\cdot5240}} = 6{,}05\cdot10^{6}\,\text{m}Altura. La altura se mide desde la superficie:h=r−R=1,25 R−R=0,25 R=0,25⋅6,05⋅106=1,51⋅106 m≈1514 kmh = r - R = 1{,}25\,R - R = 0{,}25\,R = 0{,}25\cdot 6{,}05\cdot10^{6} = 1{,}51\cdot10^{6}\,\text{m}\approx 1514\,\text{km}
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Consejo

«Un 36 % menor» es el 64 % de la fuerza en la superficie, no el 36 %. Y la altura se mide desde la superficie: no des rr como respuesta.

Pasa la densidad a kg/m3\text{kg/m}^3 (multiplica por 1000) antes de calcular el radio. El corrector reparte b) en la relación entre campos (0,2), el radio de Venus (0,4) y la altura (0,4).
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