Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

Velocidad en la órbita. Para un satélite de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor de un planeta de masa $M$, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:$$\frac{GMm}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{GM}{r}$$Energía cinética.$$E_c = \frac12\,m v^2 = \frac{GMm}{2r}$$Energía mecánica. Sumamos la potencial gravitatoria, $E_p = -\dfrac{GMm}{r}$:$$E_m = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$$Es negativa (el satélite está ligado) y, en valor absoluto, inversamente proporcional al radio. Además, $E_c = -E_m$.

¿Cuál tiene más energía cinética? Como $E_c = -E_m$:$$E_{c,A} = 4\cdot10^{10}\,\text{J}\qquad E_{c,B} = 2\cdot10^{10}\,\text{J}$$El satélite A tiene mayor energía cinética (el doble que B).

¿Cuál está más lejos? Despejando el radio, $r = -\dfrac{GMm}{2E_m}$. Con la misma masa $m$ y el mismo planeta, el radio es inversamente proporcional a $|E_m|$:$$\frac{r_B}{r_A} = \frac{E_A}{E_B} = \frac{-4\cdot10^{10}}{-2\cdot10^{10}} = 2$$El satélite B, con la energía mecánica mayor (menos negativa), está más lejos: su órbita tiene el doble de radio que la de A.