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Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2022 · Julio

Enunciado

El potencial gravitatorio en un punto situado a una distancia

r

del centro de un planeta es

V = -9{,}1\cdot 10^{8}\,\text{J/kg}

. La intensidad de campo en la superficie del planeta es

g_0 = 26\,\text{m/s}^2

y el radio del planeta es

R = 7\cdot 10^{4}\,\text{km}

. Deduce una relación que proporcione la distancia

r

en función de

V

R

g_0

y calcula el valor de

r

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

r = -\dfrac{g_0R^2}{V}

(sale de

V = -GM/r

con

GM = g_0R^2

). Numéricamente,

r = 1{,}4\cdot10^{8}\,\text{m} = 1{,}4\cdot10^{5}\,\text{km}

, es decir,

r = 2R

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No nos dan la masa del planeta ni la constante

G

, pero no hacen falta: aparecen siempre juntas como

GM

. El campo en la superficie nos da ese producto (

GM = g_0R^2

), y al meterlo en la expresión del potencial a distancia

r

podemos despejar

r

solo con

V

R

g_0

Desarrollo

Potencial gravitatorio a una distancia $r$ . Para un planeta esférico de masa

M

, fuera de él:

V = -\frac{GM}{r}

Campo en la superficie. En

r = R

el módulo del campo es

g_0 = \frac{GM}{R^2}\quad\Longrightarrow\quad GM = g_0R^2

Relación pedida. Sustituyendo

GM

en el potencial:

V = -\frac{g_0R^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad r = -\frac{g_0R^2}{V}

Como

V < 0

, la distancia sale positiva, como debe ser.

Cálculo numérico. Pasamos el radio al SI:

R = 7\cdot10^{4}\,\text{km} = 7\cdot10^{7}\,\text{m}

r = -\frac{26\cdot(7\cdot10^{7})^2}{-9{,}1\cdot10^{8}} = \frac{26\cdot 4{,}9\cdot10^{15}}{9{,}1\cdot10^{8}} = \frac{1{,}274\cdot10^{17}}{9{,}1\cdot10^{8}} = 1{,}4\cdot10^{8}\,\text{m}

Es decir,

r = 1{,}4\cdot10^{5}\,\text{km}

, justo el doble del radio del planeta.

Consejo

Cuando el enunciado no da ni $G$ ni $M$ , piensa en $GM = g_0R^2$ : es el truco que desbloquea casi todas estas cuestiones.

El corrector reparte 0,3 puntos por la expresión del potencial, 0,7 por la relación de $r$ y 0,5 por el número. Y no olvides pasar los kilómetros a metros antes de elevar al cuadrado.