FísicaFácilCuestión · 2 pts

Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

Líneas de fuerza y superficies equipotenciales en el campo gravitatorio creado por una masa puntual (o esférica).

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Resultado

Para una masa puntual o esférica: líneas de fuerza radiales dirigidas hacia la masa (tangentes a

\vec g = -GM/r^2\,\vec u_r

, más densas donde el campo es mayor, nunca se cortan); superficies equipotenciales esféricas concéntricas (

V = -GM/r

). Ambas son perpendiculares, el campo va hacia potenciales decrecientes y moverse sobre una equipotencial no cuesta trabajo.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Hay que definir las dos herramientas con las que se representa un campo (líneas de fuerza y superficies equipotenciales), aplicarlas al campo de una masa puntual (líneas radiales hacia la masa, superficies esféricas concéntricas) y dar sus propiedades: que son perpendiculares, que el campo apunta hacia potenciales decrecientes y que mover una masa por una equipotencial no cuesta trabajo. Un dibujo descrito con palabras completa la respuesta.

Desarrollo

El campo de una masa puntual. Una masa

M

crea a su alrededor un campo gravitatorio de intensidad

\vec g = -G\,\frac{M}{r^2}\,\vec u_r

dirigido hacia la masa (de ahí el signo menos), y un potencial

V = -G\,\frac{M}{r}

que es negativo y vale cero en el infinito. Para una masa esférica homogénea, fuera de ella (

r \geq R

) el campo y el potencial son los mismos que si toda la masa estuviera concentrada en el centro.

Líneas de fuerza (o de campo). Son líneas tangentes en cada punto al vector campo

\vec g

y orientadas en su sentido. Propiedades:

La densidad de líneas (cuántas atraviesan cada unidad de superficie perpendicular) indica la intensidad del campo.
Dos líneas de campo nunca se cortan, porque en cada punto el campo tiene una sola dirección.
En el campo gravitatorio las líneas mueren en las masas: no hay fuentes, solo sumideros, porque la gravedad siempre es atractiva.

Para una masa puntual son rectas radiales que llegan a la masa desde todas las direcciones. Se van juntando al acercarse a ella, lo que refleja que

g

crece como

1/r^2

.

Superficies equipotenciales. Son el lugar geométrico de los puntos que tienen el mismo potencial. Como

V = -GM/r

solo depende de

r

, para una masa puntual son esferas concéntricas centradas en la masa. Si se dibujan con el mismo salto de potencial entre una y otra, quedan más juntas cerca de la masa, donde el campo es más intenso.

Relación entre ambas.

Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales en cada punto (aquí, radios perpendiculares a esferas).
El campo apunta en el sentido en que disminuye el potencial: hacia la masa, donde $V$ es más negativo ( $\vec g = -\nabla V$ ).
Desplazar una masa sobre una superficie equipotencial no requiere trabajo: $W = -m\,\Delta V = 0$ . Por ejemplo, un satélite en órbita circular se mueve siempre sobre una equipotencial y el campo no hace trabajo sobre él.

Esquema (descrito). Un punto con la masa

M

en el centro; a su alrededor, varias circunferencias concéntricas (las equipotenciales vistas en un plano), cada vez más separadas hacia fuera, y rectas radiales con flechas que apuntan hacia

M

y cortan a todas las circunferencias en ángulo recto.

Consejo

Haz el dibujo: radios con las flechas hacia la masa y circunferencias concéntricas. Es la mitad de la respuesta y el error típico es poner las flechas hacia fuera, como en una carga positiva.

Menciona siempre que líneas y equipotenciales son perpendiculares y que mover una masa por una equipotencial tiene trabajo nulo.

Paso 1 de 3

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Sigue practicando

Campo y potencial gravitatorio

Responda a1 o a2 a1) Dos masas puntuales,