FísicaFácilCuestión · 2 pts

Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

Ondas estacionarias. Definición y ejemplos.

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Resultado

Onda estacionaria: superposición de dos ondas iguales que viajan en sentidos opuestos,

y = 2A\cos(kx)\operatorname{sen}(\omega t)

. Tiene nodos (no vibran, separados

\lambda/2

) y vientres (amplitud

2A

) fijos y no transporta energía. En una cuerda fija,

L = n\lambda/2

f_n = nv/2L

. Ejemplos: cuerdas de instrumentos, tubos sonoros, tambores, horno de microondas.

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Estrategia

Hay que explicar qué es una onda estacionaria (la superposición de dos ondas iguales que viajan en sentidos opuestos), qué la distingue de una onda viajera (nodos y vientres fijos, no transporta energía) y dar ejemplos concretos: cuerdas de guitarra, tubos de órgano o flauta. Una respuesta completa incluye la ecuación y dónde están nodos y vientres; si se añaden las frecuencias de una cuerda fija por los dos extremos, mejor.

Desarrollo

Definición. Una onda estacionaria es la que resulta de la interferencia de dos ondas armónicas de la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en la misma dirección y en sentidos opuestos. Suele producirse cuando una onda se refleja en un extremo y se superpone con la onda que llega.

Ecuación. Sumando

y_1 = A\operatorname{sen}(\omega t - kx)

y_2 = A\operatorname{sen}(\omega t + kx)

y(x,t) = y_1 + y_2 = 2A\cos(kx)\,\operatorname{sen}(\omega t)

Cada punto de la cuerda oscila con un MAS de frecuencia

\omega

, pero con una amplitud que depende de su posición,

A(x) = 2A\cos(kx)

. Ya no aparece la combinación

\omega t \mp kx

: la forma de la onda no avanza, por eso se llama «estacionaria».

Nodos y vientres.

Nodos: puntos que no vibran nunca ( $A(x) = 0$ ). Con esta ecuación están en $x = (2n + 1)\,\dfrac{\lambda}{4}$ .
Vientres (antinodos): puntos que vibran con amplitud máxima $2A$ , en $x = n\,\dfrac{\lambda}{2}$ .

La distancia entre dos nodos consecutivos (o dos vientres) es

\lambda/2

, y entre un nodo y el vientre más próximo,

\lambda/4

.

Diferencias con una onda viajera. En una onda estacionaria no hay propagación neta de energía (la energía queda confinada entre los nodos), todos los puntos entre dos nodos vibran en fase, y la amplitud cambia de un punto a otro en lugar de ser la misma para todos.

Ejemplo: cuerda fija por los dos extremos. Los extremos tienen que ser nodos, así que en la longitud

L

cabe un número entero de medias longitudes de onda:

L = n\,\frac{\lambda}{2}\quad\Longrightarrow\quad \lambda_n = \frac{2L}{n},\qquad f_n = n\,\frac{v}{2L}\quad (n = 1, 2, 3\ldots)

Solo son posibles esas frecuencias: la fundamental (

n = 1

) y sus armónicos.

Más ejemplos.

Las cuerdas de una guitarra, un violín o un piano: al pulsarlas vibran en ondas estacionarias cuya frecuencia fundamental da la nota.
El aire dentro de un tubo de órgano, una flauta o un clarinete (ondas estacionarias de presión, con un vientre de desplazamiento en el extremo abierto y un nodo en el cerrado).
La membrana de un tambor, una cuerda atada a una pared que se agita con la mano, o las microondas dentro de un horno (por eso hay zonas que se calientan menos).

Consejo

Una definición que solo diga «una onda que no se mueve» se queda corta: di que es la superposición de dos ondas iguales en sentidos opuestos y nombra los nodos y los vientres.

Un dibujo de la cuerda con los tres primeros modos (uno, dos y tres husos) explica en un vistazo nodos, vientres y $L = n\lambda/2$ .