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Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

Enunciado

Movimiento armónico simple. Ejemplos. Ecuación. Definición de las magnitudes. Ecuaciones de la velocidad y de la aceleración.

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Resultado

MAS: oscilación periódica producida por una fuerza

F = -kx

. Ejemplos: muelle, péndulo con ángulos pequeños, átomos de un sólido. Ecuación

x = A\operatorname{sen}(\omega t + \varphi_0)

, con amplitud

A

, pulsación

\omega = 2\pi/T = 2\pi f

, fase y fase inicial. Velocidad

v = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)

; aceleración

a = -A\omega^2\operatorname{sen}(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una cuestión de teoría con cinco piezas, y el corrector va a buscar las cinco: qué es un MAS (con la idea de fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento), dos o tres ejemplos reales, la ecuación

x(t)

, qué significa cada letra (con sus unidades) y las expresiones de

v

a

obtenidas derivando. Conviene cerrar con la relación

a = -\omega^2 x

, que es la «firma» del MAS.

Desarrollo

Definición. Un movimiento armónico simple (MAS) es un movimiento oscilatorio y periódico, a un lado y otro de una posición de equilibrio, producido por una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento y de sentido contrario a él:

F = -k\,x

Por la segunda ley de Newton,

m\,a = -k\,x

, es decir,

a = -\dfrac{k}{m}\,x

: la aceleración es proporcional a la elongación y siempre apunta hacia la posición de equilibrio. La proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme es también un MAS.

Ejemplos.

Una masa unida a un muelle que oscila sin rozamiento (fuerza de Hooke $F = -kx$ ), con $\omega = \sqrt{k/m}$ .
Un péndulo simple con oscilaciones pequeñas (menos de unos $10^\circ$ ), con $\omega = \sqrt{g/L}$ .
La vibración de los átomos de un sólido alrededor de su posición de equilibrio, la de un diapasón o la de cada punto de una cuerda por la que pasa una onda armónica.

Ecuación del movimiento. La posición en función del tiempo es

x(t) = A\,\operatorname{sen}(\omega t + \varphi_0)

(también puede escribirse con coseno; solo cambia la fase inicial).

Magnitudes.

Elongación $x$ : posición respecto del equilibrio en cada instante (m).
Amplitud $A$ : elongación máxima; el móvil oscila entre $-A$ y $+A$ (m).
Frecuencia angular o pulsación $\omega$ (rad/s), relacionada con el periodo y la frecuencia por $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ .
Periodo $T$ : tiempo de una oscilación completa (s). Frecuencia $f = 1/T$ : oscilaciones por segundo (Hz).
Fase $\omega t + \varphi_0$ (rad): indica el estado de vibración en cada instante; $\varphi_0$ es la fase inicial, que fija dónde está y hacia dónde se mueve el móvil en $t = 0$ .

Velocidad. Derivando la posición respecto del tiempo:

v(t) = \frac{dx}{dt} = A\,\omega\cos(\omega t + \varphi_0)

Su valor máximo,

v_\text{máx} = A\omega

, se alcanza al pasar por el equilibrio (

x = 0

), y es nula en los extremos (

x = \pm A

). En función de la posición:

v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}

Aceleración. Derivando otra vez:

a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\,\omega^2\operatorname{sen}(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2\,x

Es máxima en los extremos,

a_\text{máx} = A\omega^2

, y nula en el equilibrio. El signo menos indica que siempre apunta hacia la posición de equilibrio. Comparando con

a = -\frac{k}{m}x

se obtiene

\omega = \sqrt{k/m}

T = 2\pi\sqrt{m/k}

: el periodo no depende de la amplitud.

Consejo

El enunciado enumera lo que hay que contar: tómalo como guion y no te dejes ninguna parte (ejemplos incluidos). Pon las unidades de cada magnitud.

Escribe expresamente $a = -\omega^2 x$ y explica qué significa el signo menos: es lo que define el MAS y lo que más mira el corrector.