Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

a) Lo que dice la foto en $t = 0$. Con $t = 0$ la ecuación general queda $y(x,0) = A\cos(-kx + \varphi_0)$. Comparando con $0{,}1\cos(\pi - 4\pi x)$:$$A = 0{,}1\ \text{m}\qquad k = 4\pi\ \text{rad/m}\qquad \varphi_0 = \pi\ \text{rad}$$Lo que dice la foto en $t = 2\ \text{s}$. Ahora $y(x,2) = A\cos(2\omega - kx + \varphi_0) = 0{,}1\cos(2\omega + \pi - 4\pi x)$, que debe coincidir con $0{,}1\cos(11\pi - 4\pi x)$:$$2\omega + \pi = 11\pi\quad\Longrightarrow\quad 2\omega = 10\pi\quad\Longrightarrow\quad \omega = 5\pi\ \text{rad/s} \approx 15{,}7\ \text{rad/s}$$(Estrictamente, como el coseno se repite cada $2\pi$, las dos fotos también casarían con $\omega = \pi, 2\pi, 3\pi\ldots$; el enunciado entiende que la fase pasa de $\pi$ a $11\pi$ tal cual está escrita, y así lo toma la corrección oficial.)

b) Ecuación de la onda. Sustituyendo en la forma general:$$y(x,t) = 0{,}1\cos(5\pi t - 4\pi x + \pi)\ \text{m}$$El signo menos entre $\omega t$ y $kx$ confirma que avanza hacia $+x$. Como $\cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha$, también puede escribirse $y(x,t) = -0{,}1\cos(5\pi t - 4\pi x)\ \text{m}$.

c) Velocidad de propagación.$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{2\pi/k}{2\pi/\omega} = \frac{\omega}{k} = \frac{5\pi}{4\pi} = 1{,}25\ \text{m/s}$$(Con $\lambda = 2\pi/k = 0{,}5\ \text{m}$ y $T = 2\pi/\omega = 0{,}4\ \text{s}$.)

Aceleración de un punto de la cuerda. Derivando dos veces respecto del tiempo a $x$ fijo:$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\,\omega\,\operatorname{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)\qquad a_y = \frac{\partial v_y}{\partial t} = -A\,\omega^2\cos(\omega t - kx + \varphi_0)$$Su valor máximo es$$a_\text{máx} = A\,\omega^2 = 0{,}1\cdot(5\pi)^2 = 24{,}7\ \text{m/s}^2$$