Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

a) Dónde puede anularse el campo. Con $q_1 > 0$ en $x = 0$ y $q_2 < 0$ en $x = 1$:

• Entre las cargas ($0 < x < 1$), $\vec E_1$ apunta hacia la derecha (se aleja de $q_1$) y $\vec E_2$ también (va hacia $q_2$): se suman y no se anulan.
• A la derecha de $q_2$, los sentidos son opuestos, pero ahí estamos más cerca de la carga mayor: $|\vec E_2| > |\vec E_1|$ siempre.
• A la izquierda de $q_1$, los sentidos son opuestos y estamos más cerca de la carga menor: aquí sí hay un punto.

Igualamos los módulos. Sea $d$ la distancia de A a $q_1$ (A en $x = -d$); entonces dista $d + 1$ de $q_2$:$$K\,\frac{q_1}{d^2} = K\,\frac{|q_2|}{(d+1)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{10}{d^2} = \frac{40}{(d+1)^2}\quad\Longrightarrow\quad (d+1)^2 = 4\,d^2$$Tomando la raíz positiva, $d + 1 = 2d$, así que $d = 1\ \text{m}$. (La otra raíz, $d + 1 = -2d$, da $d = -1/3$, que es un punto entre las cargas, donde ya vimos que el campo no se anula: se descarta.)

El punto A está a 1 m de $q_1$, en el lado opuesto a $q_2$ (en $x = -1\ \text{m}$, a 2 m de $q_2$).

b) Condición de potencial nulo.$$K\,\frac{q_1}{r_1} + K\,\frac{q_2}{r_2} = 0\quad\Longrightarrow\quad \frac{10}{r_1} = \frac{40}{r_2}\quad\Longrightarrow\quad r_2 = 4\,r_1$$A la izquierda de $q_1$ ($x = -d_B$): $r_1 = d_B$, $r_2 = d_B + 1$:$$d_B + 1 = 4\,d_B\quad\Longrightarrow\quad d_B = \tfrac{1}{3}\ \text{m} = 0{,}33\ \text{m}$$Entre las cargas ($x = d_B$): $r_1 = d_B$, $r_2 = 1 - d_B$:$$1 - d_B = 4\,d_B\quad\Longrightarrow\quad d_B = \tfrac{1}{5}\ \text{m} = 0{,}20\ \text{m}$$Cualquiera de los dos vale como punto B: a $0{,}33\ \text{m}$ de $q_1$ por fuera, o a $0{,}20\ \text{m}$ de $q_1$ hacia $q_2$. (Fuera de la recta hay más: todos los puntos con $r_2 = 4r_1$ forman una superficie equipotencial $V = 0$ que rodea a $q_1$.)

c) Potencial en A. A está a 1 m de $q_1$ y a 2 m de $q_2$:$$V_A = K\left(\frac{q_1}{r_{1A}} + \frac{q_2}{r_{2A}}\right) = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{10\cdot 10^{-6}}{1} + \frac{-40\cdot 10^{-6}}{2}\right) = -9{,}0\cdot 10^{4}\ \text{V}$$Trabajo del campo. Con $V_B = 0$ y la carga del protón $q = +e$:$$W_{A\to B} = q\,(V_A - V_B) = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot\left(-9{,}0\cdot 10^{4} - 0\right) = -1{,}44\cdot 10^{-14}\ \text{J}$$Interpretación. El trabajo del campo es negativo: el protón no va solo de A a B, porque pasa de un potencial más bajo ($-9\cdot 10^4\ \text{V}$) a uno más alto ($0$). Hay que llevarlo con una fuerza externa, que realiza un trabajo $W_\text{ext} = -W_{A\to B} = +1{,}44\cdot 10^{-14}\ \text{J}$ (suponiendo que llega a B sin ganar energía cinética). La masa del protón no hace falta.