FísicaMedioProblema · 3 pts

Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Junio

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Enunciado

Una nave espacial ha quedado atrapada en una órbita circular en torno a un planeta esférico desconocido. Los sistemas de navegación de la nave indican que su velocidad orbital es de

25\,000\ \text{km}\cdot\text{h}^{-1}

y que tarda 5 horas en dar una vuelta completa alrededor del planeta.

a) Determine el radio de la órbita circular de la nave.

b) Calcular la masa del planeta.

c) Si la densidad del planeta es de

16\,150\ \text{kg}\cdot\text{m}^{-3}

, calcule el radio del planeta y el valor de la aceleración de la gravedad en su superficie.

Datos: Constante de Gravitación Universal:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

r = 1{,}99\cdot 10^{7}\ \text{m}\ (\approx 19\,894\ \text{km})

.

b)

M = 1{,}44\cdot 10^{25}\ \text{kg}

.

c)

R = 5{,}97\cdot 10^{6}\ \text{m}\ (\approx 5970\ \text{km})

g_0 = 26{,}9\ \text{m/s}^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La nave da vueltas con velocidad constante, así que en un periodo recorre una circunferencia entera: con

v

T

sale el radio de la órbita sin necesidad de saber nada del planeta. Después, como la órbita es circular, la atracción gravitatoria hace de fuerza centrípeta: de ahí se despeja la masa del planeta. Por último, la densidad relaciona masa y volumen de una esfera, lo que da el radio del planeta, y con masa y radio calculamos

g_0 = GM/R^2

.

Antes de nada, todo al SI: kilómetros por hora a metros por segundo y horas a segundos.

Desarrollo

Datos en el SI.

v = \frac{25\,000\cdot 10^{3}\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = 6944{,}4\ \text{m/s}\qquad T = 5\cdot 3600 = 18\,000\ \text{s}

a) Radio de la órbita. En una vuelta completa la nave recorre

2\pi r

en un tiempo

T

v = \frac{2\pi r}{T}\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{v\,T}{2\pi} = \frac{6944{,}4\cdot 18\,000}{2\pi} = 1{,}99\cdot 10^{7}\ \text{m}

Es decir,

r \approx 19\,894\ \text{km}

.

b) Masa del planeta. La fuerza gravitatoria es la centrípeta:

G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad M = \frac{r\,v^2}{G}

M = \frac{1{,}989\cdot 10^{7}\cdot (6944{,}4)^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 1{,}44\cdot 10^{25}\ \text{kg}

(Se llega a lo mismo con la tercera ley de Kepler,

M = \dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}

, porque

v = 2\pi r/T

.)

c) Radio del planeta. Para una esfera homogénea,

\rho = \dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}

R = \sqrt[3]{\frac{3M}{4\pi\rho}} = \sqrt[3]{\frac{3\cdot 1{,}44\cdot 10^{25}}{4\pi\cdot 16\,150}} = 5{,}97\cdot 10^{6}\ \text{m}

Gravedad en la superficie. Sobre un cuerpo de masa

m

en la superficie,

m\,g_0 = G\,\dfrac{M\,m}{R^2}

g_0 = G\,\frac{M}{R^2} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot\frac{1{,}44\cdot 10^{25}}{(5{,}97\cdot 10^{6})^2} = 26{,}9\ \text{m/s}^2

Comprobación. El radio del planeta (

5970\ \text{km}

) es menor que el de la órbita (

19\,894\ \text{km}

), como debe ser: la nave orbita a unos

13\,900\ \text{km}

de altura. La gravedad sale casi tres veces la terrestre porque el planeta es parecido en tamaño a la Tierra pero tres veces más denso.

Consejo

El fallo más caro aquí es no pasar los $\text{km/h}$ a $\text{m/s}$ (se divide entre 3,6) y las horas a segundos: el error se arrastra a la masa, al radio y a $g$ .

En el apartado c) distingue bien el radio de la órbita $r$ del radio del planeta $R$ : la gravedad en la superficie va con $R$ . Si te sale $R > r$ , la nave estaría dentro del planeta: revisa.

Paso 1 de 3

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