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Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

Enunciado

Movimiento ondulatorio en una dimensión. Ecuación. Definición de las magnitudes. Velocidad de propagación. Distinción entre ondas transversales y ondas longitudinales. Ejemplos.

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Resultado

Onda: propagación de energía sin transporte de materia. Ecuación

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t \mp kx + \varphi_0)

(− hacia

+X

, + hacia

-X

), con

\omega = 2\pi/T

k = 2\pi/\lambda

f = 1/T

. Velocidad

v = \lambda/T = \omega/k

, que depende del medio. Transversales (cuerda, luz) frente a longitudinales (sonido, muelle).

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Estrategia

Cuestión de teoría con cinco piezas: qué es una onda (transporte de energía sin transporte de materia), la ecuación de la onda armónica en una dimensión con el significado del signo, la definición de cada magnitud con sus unidades y sus relaciones, la velocidad de propagación (de qué depende en una cuerda y en un gas, y en qué se diferencia de la de vibración) y la diferencia entre ondas transversales y longitudinales con ejemplos de cada una.

Desarrollo

Movimiento ondulatorio. Una onda es la propagación de una perturbación a través de un medio (o del vacío, en las electromagnéticas). Lo que viaja es la energía y la cantidad de movimiento, no la materia: cada partícula del medio solo oscila alrededor de su posición de equilibrio. Si la perturbación avanza a lo largo de una sola dirección (una cuerda, un muelle, un tubo estrecho) hablamos de onda en una dimensión. Si el foco vibra con un MAS, la onda es armónica.

Ecuación. Si el foco, en

x = 0

, oscila según

y(0,t) = A\,\text{sen}(\omega t + \varphi_0)

, un punto situado a una distancia

x

repite ese movimiento con el retraso

x/v

que tarda la perturbación en llegar. Para una onda que avanza en el sentido positivo del eje

X

y(x,t) = A\,\text{sen}\left[\omega\left(t - \frac{x}{v}\right) + \varphi_0\right] = A\,\text{sen}(\omega t - kx + \varphi_0)

Si la onda avanza en el sentido negativo, el signo de

kx

+

y = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)

. La función es doblemente periódica: en el tiempo (con periodo

T

) y en el espacio (con periodo

\lambda

).

Definición de las magnitudes.

Elongación $y$ : separación de un punto respecto a su posición de equilibrio (m).
Amplitud $A$ : elongación máxima (m).
Periodo $T$ : tiempo que tarda un punto en completar una oscilación (s).
Frecuencia $f = 1/T$ : oscilaciones por segundo (Hz).
Frecuencia angular $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$ (rad/s).
Longitud de onda $\lambda$ : distancia entre dos puntos consecutivos que vibran en fase, o distancia que avanza la onda en un periodo (m).
Número de onda $k = 2\pi/\lambda$ (rad/m).
Fase $\omega t \mp kx + \varphi_0$ (rad) y fase inicial $\varphi_0$ : estado de vibración del foco en $t = 0$ .

Velocidad de propagación. Es la velocidad con la que avanza la perturbación:

v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}

Depende solo de las propiedades del medio, no de la amplitud ni de la frecuencia del foco. Por ejemplo, en una cuerda tensa

v = \sqrt{T_{\text{tensión}}/\mu}

(tensión entre densidad lineal de masa), y en un gas el sonido va a

v = \sqrt{\gamma R T/M}

(unos

340\ \text{m/s}

en el aire a

20\ ^\circ\text{C}

). Si la onda pasa a otro medio cambian

v

\lambda

, pero no la frecuencia, que la fija el foco.

No hay que confundirla con la velocidad de vibración de cada punto,

v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

, que cambia con el tiempo y vale como mucho

A\omega

.

Ondas transversales y longitudinales.

Transversales: las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación. Ejemplos: una onda en una cuerda de guitarra, las ondas sísmicas S y todas las ondas electromagnéticas (luz, radio), en las que vibran los campos $\vec E$ y $\vec B$ . Pueden polarizarse.
Longitudinales: las partículas vibran en la misma dirección en que se propaga la onda, formando compresiones y enrarecimientos. Ejemplos: el sonido en el aire, una onda en un muelle que se comprime y estira a lo largo de su eje, las ondas sísmicas P.

Las ondas en la superficie del agua son una mezcla de las dos: las partículas describen trayectorias casi circulares.

Consejo

Define cada magnitud con su unidad y relaciónalas entre sí: es lo que más puntos da. Explica también qué indica el signo de $kx$ y deduce la ecuación a partir del retraso $x/v$ , en lugar de escribirla sin más.

Distingue explícitamente la velocidad de propagación de la velocidad de vibración de las partículas, y da al menos un ejemplo de onda transversal y otro de longitudinal.