Problema resuelto de Física: Óptica geométrica: lentes y espejosSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

Descripción. Una lupa (o microscopio simple) es una lente convergente de pequeña distancia focal (unos pocos centímetros, potencia de unas $+10$ a $+20$ dioptrías). Sirve para observar objetos pequeños con un tamaño aparente mayor que el que tendrían a simple vista.

El tamaño con el que vemos un objeto depende del ángulo que subtiende en el ojo. Para verlo mayor lo acercamos, pero el ojo normal no enfoca nada más cerca de su punto próximo, a unos $d = 25\ \text{cm}$. La lupa resuelve el problema: se coloca el objeto entre el foco objeto $F$ y la lente (a una distancia menor que $f'$) y la lente da de él una imagen virtual, derecha y mayor, situada lejos (entre el punto próximo y el infinito), que el ojo ve cómodamente.

Esquema de la formación de la imagen. Se dibuja el eje óptico y la lente convergente (segmento vertical con puntas de flecha hacia fuera), con el foco objeto $F$ a la izquierda y el foco imagen $F'$ a la derecha, a la misma distancia $f'$. El objeto, una flecha vertical hacia arriba, se coloca a la izquierda de la lente entre $F$ y la lente. Desde su punta se trazan:

• Rayo paralelo al eje: tras la lente se desvía y pasa por $F'$ (a la derecha).
• Rayo por el centro óptico: sigue recto sin desviarse.

Los dos rayos que salen de la lente divergen y no se cortan; sus prolongaciones hacia atrás (en discontinua) se cortan a la izquierda de la lente, más lejos que el objeto y por encima de él. Ahí está la imagen: una flecha hacia arriba, mayor que el objeto, del mismo lado. El ojo, colocado justo detrás de la lente, recibe esos rayos como si salieran de la imagen.

Con la ecuación de las lentes, $\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}$, si $|s| < f'$ resulta $s' < 0$ (imagen virtual) y $|s'| > |s|$, de modo que el aumento lateral $M_L = s'/s$ es positivo (derecha) y mayor que $1$ (mayor). Si el objeto se pone justo en el foco, los rayos salen paralelos y la imagen se forma en el infinito: es la posición de observación sin esfuerzo, con el ojo relajado.

Aumento. En una lupa no interesa tanto el aumento lateral como el aumento angular: el cociente entre el ángulo $\theta'$ con el que se ve la imagen a través de la lupa y el ángulo $\theta$ con el que se vería el objeto a simple vista colocado en el punto próximo ($d = 25\ \text{cm}$). Para ángulos pequeños, con el objeto de tamaño $y$:$$\theta \approx \frac{y}{d},\qquad \theta' \approx \frac{y}{f'}\ \ (\text{objeto en el foco})\quad\Longrightarrow\quad M = \frac{\theta'}{\theta} = \frac{d}{f'} = \frac{0{,}25\ \text{m}}{f'}$$Si la imagen se forma en el punto próximo (máximo aumento), $M = 1 + \dfrac{d}{f'}$. En términos de potencia $P = 1/f'$ en dioptrías, $M = P/4$.

Ejemplo. Una lupa de $f' = 5\ \text{cm}$ ($P = 20$ dioptrías) da, con el ojo relajado, $M = 25/5 = 5$ aumentos (se escribe $5\times$); si la imagen se forma en el punto próximo, $M = 6$. Cuanto menor es la distancia focal, más aumenta la lupa, aunque en la práctica las aberraciones limitan las lupas a unos $10\times$ o $20\times$.