FísicaFácilProblema · 3 pts

Problema resuelto de Física: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbreSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

También trata: Efecto fotoeléctrico y cuantización

Enunciado

Un electrón posee una energía cinética de 25 eV. Calcular:

a) La longitud de onda asociada al electrón.

b) La longitud de onda de un fotón con la misma energía de 25 eV.

c) La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula de masa

m = 0{,}005\ \mu\text{g}

con la misma velocidad que el electrón de los apartados anteriores.

Datos:

m_e = 9{,}1\times 10^{-31}\ \text{kg}

;

e = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}

;

h = 6{,}626\times 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}

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Resultado

v = 2{,}96\times 10^{6}\ \text{m/s}

\lambda_e = 2{,}46\times 10^{-10}\ \text{m}

.

b)

\lambda_{\text{fotón}} \approx 4{,}97\times 10^{-8}\ \text{m}

(con

c = 3\times 10^{8}\ \text{m/s}

).

c)

\lambda_p \approx 4{,}47\times 10^{-29}\ \text{m}

: el comportamiento ondulatorio es inapreciable.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para una partícula con masa, De Broglie asocia una longitud de onda

\lambda = h/p = h/(mv)

. La velocidad del electrón sale de su energía cinética (a

25\ \text{eV}

no hace falta relatividad), y antes hay que pasar los electronvoltios a julios.

Un fotón no tiene masa: su energía es

E = hf = hc/\lambda

, así que la misma energía da una longitud de onda muy distinta. Para él hace falta la velocidad de la luz,

c = 3\times 10^{8}\ \text{m/s}

, que el enunciado no da.

Por último, una partícula «grande» con la misma velocidad que el electrón tiene un momento enorme y una longitud de onda ridícula: por eso no vemos el comportamiento ondulatorio de los objetos macroscópicos.

Desarrollo

Energía en julios.

E_c = 25\ \text{eV}\cdot 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J/eV} = 4{,}0\times 10^{-18}\ \text{J}

a) Velocidad del electrón. De

E_c = \tfrac{1}{2}m_e v^2

v = \sqrt{\frac{2E_c}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}0\times 10^{-18}}{9{,}1\times 10^{-31}}} = 2{,}96\times 10^{6}\ \text{m/s}

Es un 1 % de la velocidad de la luz: el tratamiento clásico es correcto.

Longitud de onda de De Broglie.

\lambda_e = \frac{h}{m_e v} = \frac{6{,}626\times 10^{-34}}{9{,}1\times 10^{-31}\cdot 2{,}96\times 10^{6}} = 2{,}46\times 10^{-10}\ \text{m}

(Equivale a

\lambda_e = h/\sqrt{2 m_e E_c}

.) Son unos

0{,}25\ \text{nm}

, del orden de las distancias entre átomos de un cristal: por eso los electrones se difractan en los cristales.

b) Fotón de la misma energía. Con

E = hf = \dfrac{hc}{\lambda}

\lambda_{\text{fotón}} = \frac{hc}{E} = \frac{6{,}626\times 10^{-34}\cdot 3\times 10^{8}}{4{,}0\times 10^{-18}} = 4{,}97\times 10^{-8}\ \text{m}

Unos

50\ \text{nm}

: radiación ultravioleta. Es unas 200 veces mayor que la del electrón con la misma energía.

c) Masa en kilogramos.

m = 0{,}005\ \mu\text{g} = 0{,}005\times 10^{-6}\ \text{g} = 5\times 10^{-9}\ \text{g} = 5\times 10^{-12}\ \text{kg}

Longitud de onda de la partícula. Con la misma velocidad que el electrón:

\lambda_p = \frac{h}{m v} = \frac{6{,}626\times 10^{-34}}{5\times 10^{-12}\cdot 2{,}96\times 10^{6}} = 4{,}47\times 10^{-29}\ \text{m}

Interpretación. Es muchísimo menor que cualquier distancia física (un núcleo mide unos

10^{-15}\ \text{m}

): no hay ninguna rendija ni red capaz de difractarla, así que esta partícula se comporta en la práctica como un corpúsculo clásico.

Consejo

Las dos trampas de este problema son las unidades: pasar los $\text{eV}$ a julios (multiplicando por $1{,}6\times 10^{-19}$ ) y los microgramos a kilogramos ( $1\ \mu\text{g} = 10^{-9}\ \text{kg}$ ). Escribe la conversión aparte, en un renglón.

No apliques $\lambda = hc/E$ al electrón ni $\lambda = h/(mv)$ con $m$ al fotón: la primera es solo para la luz y la segunda, para partículas con masa. Y acaba con una frase que compare los resultados: es lo que da sentido al apartado c).