Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

Identificación de las constantes. Comparando con $y = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)$:$$A = 0{,}2\ \text{m},\qquad \omega = 2\ \text{rad/s},\qquad k = 4\ \text{rad/m},\qquad \varphi_0 = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}$$a) Periodo y frecuencia.$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi\ \text{s} \approx 3{,}14\ \text{s}\qquad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{\pi}\ \text{Hz} \approx 0{,}32\ \text{Hz}$$Longitud de onda.$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\ \text{m} \approx 1{,}57\ \text{m}$$Velocidad de propagación.$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega}{k} = \frac{2}{4} = 0{,}5\ \text{m/s}$$Como en la fase aparecen $\omega t$ y $kx$ con el mismo signo, la onda se propaga en el sentido negativo del eje $X$: vectorialmente, $\vec v = -0{,}5\,\vec i\ \text{m/s}$.

b) Velocidad de vibración. Cada punto de la cuerda oscila en la dirección $Y$; su velocidad es la derivada de $y$ respecto al tiempo (con $x$ fija):$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}2\cdot 2\,\cos\left(2t + 4x + \frac{\pi}{4}\right) = 0{,}4\,\cos\left(2t + 4x + \frac{\pi}{4}\right)\ \text{m/s}$$Valor máximo. El coseno vale como mucho $1$, así que$$v_{y,\text{máx}} = A\,\omega = 0{,}2\cdot 2 = 0{,}4\ \text{m/s}$$que se alcanza cuando el punto pasa por la posición de equilibrio ($y = 0$).

c) Diferencia de fase. En un mismo instante, la fase de dos puntos $x_1$ y $x_2$ solo difiere en el término $kx$:$$\Delta\varphi = \left(2t + 4x_2 + \frac{\pi}{4}\right) - \left(2t + 4x_1 + \frac{\pi}{4}\right) = k\,(x_2 - x_1)$$Con $x_2 - x_1 = 0{,}5\ \text{m}$:$$\Delta\varphi = 4\cdot 0{,}5 = 2\ \text{rad}\ (\approx 115^\circ)$$Comprobación. $0{,}5\ \text{m}$ es menos de una longitud de onda ($1{,}57\ \text{m}$), así que el desfase debe ser menor que $2\pi$: $2\ \text{rad}$ lo es. Los puntos no están ni en fase ni en oposición.