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Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2022 · Julio

Enunciado

La aceleración de la gravedad en Urano tiene un valor de

8{,}9\ \text{m/s}^2

. Calcular:

a) El radio medio de Urano.

b) El peso en Urano de un objeto cuyo peso en la superficie de la Tierra es

1100\ \text{N}

.

c) La velocidad de escape de la superficie de Urano.

Datos:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}

;

M_T = 5{,}98\times 10^{24}\ \text{kg}

;

R_T = 6370\ \text{km}

;

M_U = 8{,}68\times 10^{25}\ \text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

R_U = 2{,}55\times 10^{7}\ \text{m}

(

\approx 25\,500\ \text{km}

).

b)

P_U \approx 996\ \text{N}

(con

g_T = 9{,}83\ \text{m/s}^2

; unos

999\ \text{N}

si se toma

g_T = 9{,}8\ \text{m/s}^2

).

c)

v_e = 2{,}13\times 10^{4}\ \text{m/s}

(

\approx 21{,}3\ \text{km/s}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira alrededor de una sola fórmula: la gravedad en la superficie de un planeta,

g_0 = GM/R^2

, que sale de igualar el peso

mg_0

con la fuerza de Newton. Con la

g

y la masa de Urano despejamos su radio.

Para el peso, la clave es que la masa del objeto no cambia de un planeta a otro: lo que cambia es la

g

. Así que basta con calcular la

g

de la Tierra con sus datos y hacer una proporción.

La velocidad de escape sale de la conservación de la energía: la mínima velocidad es la que deja al objeto con energía mecánica cero, es decir, llegando al infinito con velocidad nula.

Desarrollo

a) Radio de Urano. En la superficie, el peso es la fuerza gravitatoria:

m\,g_U = G\,\frac{M_U\,m}{R_U^2}\quad\Longrightarrow\quad g_U = \frac{G M_U}{R_U^2}\quad\Longrightarrow\quad R_U = \sqrt{\frac{G M_U}{g_U}}

R_U = \sqrt{\frac{6{,}67\times 10^{-11}\cdot 8{,}68\times 10^{25}}{8{,}9}} = 2{,}55\times 10^{7}\ \text{m}

Unos

25\,500\ \text{km}

, cuatro veces el radio terrestre.

b) Gravedad en la Tierra. Con los datos del enunciado (

R_T = 6{,}37\times 10^{6}\ \text{m}

g_T = \frac{G M_T}{R_T^2} = \frac{6{,}67\times 10^{-11}\cdot 5{,}98\times 10^{24}}{(6{,}37\times 10^{6})^2} = 9{,}83\ \text{m/s}^2

Peso en Urano. La masa es la misma en los dos planetas:

P_T = m\,g_T

P_U = m\,g_U

. Dividiendo:

\frac{P_U}{P_T} = \frac{g_U}{g_T}\quad\Longrightarrow\quad P_U = P_T\,\frac{g_U}{g_T} = 1100\cdot\frac{8{,}9}{9{,}83} = 996\ \text{N}

(La masa del objeto es

m = 1100/9{,}83 = 112\ \text{kg}

.) Si se toma

g_T = 9{,}8\ \text{m/s}^2

, sale

P_U \approx 999\ \text{N}

: la diferencia es solo de redondeo.

c) Velocidad de escape. Para escapar, el objeto debe llegar al infinito (donde

E_p = 0

) con velocidad nula como mínimo, es decir, con energía mecánica cero. Conservando la energía desde la superficie:

\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - G\,\frac{M_U\,m}{R_U} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_U}{R_U}} = \sqrt{2\,g_U\,R_U}

v_e = \sqrt{2\cdot 8{,}9\cdot 2{,}55\times 10^{7}} = 2{,}13\times 10^{4}\ \text{m/s}

Unos

21{,}3\ \text{km/s}

, casi el doble que en la Tierra (

11{,}2\ \text{km/s}

). No depende de la masa del objeto.

Consejo

En el apartado b) no confundas masa y peso: la masa ( $112\ \text{kg}$ ) es la misma en Urano y en la Tierra; lo que cambia es el peso. Plantear el cociente $P_U/P_T = g_U/g_T$ ahorra cálculos y errores.

En la velocidad de escape, escribe siempre la conservación de la energía con $E_m = 0$ antes de despejar: el corrector valora el planteamiento, no solo la fórmula final. Y pasa los kilómetros a metros antes de operar.