FísicaMedio2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio (coincidentes)

Enunciado

^{201}\text{Tl}

es un isótopo utilizado para obtener imágenes del músculo cardiaco que permite detectar áreas isquémicas del corazón, y posee un periodo de semidesintegración de

73\ \text{h}

. La solución que se administra por vía intravenosa contiene una actividad inicial de

37\ \text{MBq}

por cada mililitro de solución.

a) Determine la vida media del isótopo y su constante de desintegración radiactiva.

b) Calcule el número de isótopos que quedarán en un paciente al transcurrir un día después de haberle suministrado

5\ \text{mL}

de solución, así como la actividad al cabo de ese tiempo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\tau = 105{,}3\ \text{h} = 3{,}79\cdot 10^{5}\ \text{s}\qquad \lambda = 2{,}64\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}\;}

\boxed{\;N = 5{,}58\cdot 10^{13}\ \text{núcleos}\qquad A = 1{,}47\cdot 10^{8}\ \text{Bq}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Vida media, constante de desintegración y periodo están ligados:

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

\tau = 1/\lambda

. Para trabajar con becquerelios (desintegraciones por segundo),

\lambda

\text{s}^{-1}

.

La actividad decae con la misma exponencial que el número de núcleos,

A = A_0\,e^{-\lambda t}

, y en cada instante

A = \lambda N

: con la actividad al cabo de un día se obtiene el número de núcleos que quedan.

Desarrollo

a) Vida media:

\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} = \frac{73}{0{,}693} = 105{,}3\ \text{h} = 3{,}79\cdot 10^{5}\ \text{s}

Constante de desintegración:

\lambda = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{3{,}79\cdot 10^{5}} = 2{,}64\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}\ \ (9{,}50\cdot 10^{-3}\ \text{h}^{-1})

b) Actividad inicial de los

5\ \text{mL}

inyectados:

A_0 = 37\cdot 10^{6}\ \text{Bq/mL}\cdot 5\ \text{mL} = 1{,}85\cdot 10^{8}\ \text{Bq}

Al cabo de un día,

t = 24\ \text{h}

(

\lambda t = 9{,}50\cdot 10^{-3}\cdot 24 = 0{,}228

A = A_0\,e^{-\lambda t} = 1{,}85\cdot 10^{8}\cdot e^{-0{,}228} = 1{,}47\cdot 10^{8}\ \text{Bq}

Núcleos de

^{201}\text{Tl}

que quedan:

N = \frac{A}{\lambda} = \frac{1{,}47\cdot 10^{8}}{2{,}64\cdot 10^{-6}} = 5{,}58\cdot 10^{13}\ \text{núcleos}

Tras un día queda casi el

80\,\%

del isótopo, como corresponde a un día frente a un periodo de tres. (Se supone que todo el isótopo sigue en el paciente: el enunciado no habla de eliminación biológica.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Vida media» no es lo mismo que «periodo de semidesintegración»: $\tau = T_{1/2}/\ln 2$ , siempre mayor. Es una confusión que el enunciado aprovecha a menudo.

En $A = \lambda N$ , la actividad va en becquerelios y $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ : si usas $\lambda$ en $\text{h}^{-1}$ , el número de núcleos sale 3600 veces más pequeño.