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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Las ondas sísmicas que registra un sismógrafo se pueden aproximar a una onda de la forma

y = y_0\,\text{sen}\,[\omega t - kx]

. En un determinado seísmo el instrumento detecta una onda de frecuencia

0{,}73\ \text{Hz}

y amplitud

5{,}5\ \text{cm}

. Sabiendo que la velocidad de propagación de las ondas en el material por el que se transmite es de

12\ \text{km}\,\text{s}^{-1}

, obtenga:

a) La longitud de onda de las ondas y la expresión matemática de la onda.

b) La velocidad y aceleración máximas de oscilación que experimentan los puntos del medio material al paso de la onda sísmica.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\lambda = 1{,}64\cdot 10^{4}\ \text{m}\qquad y(x,t) = 0{,}055\,\text{sen}\left(4{,}59\,t - 3{,}82\cdot 10^{-4}\,x\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_{y,\text{máx}} = 0{,}25\ \text{m/s}\qquad a_{y,\text{máx}} = 1{,}16\ \text{m/s}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La velocidad de propagación, la frecuencia y la longitud de onda están ligadas por

v = \lambda f

. Con

\lambda

f

se calculan el número de onda

k = 2\pi/\lambda

y la frecuencia angular

\omega = 2\pi f

, y se completa la expresión que da el enunciado (todo en metros y segundos).

Cada punto del medio hace un movimiento armónico simple: derivando una vez respecto del tiempo se obtiene su velocidad y dos veces, su aceleración. Los máximos son

y_0\omega

y_0\omega^2

Desarrollo

a) Longitud de onda:

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{12\,000}{0{,}73} = 1{,}64\cdot 10^{4}\ \text{m}

Unos

16\ \text{km}

. Número de onda y frecuencia angular:

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{16\,438} = 3{,}82\cdot 10^{-4}\ \text{rad/m}\qquad \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 0{,}73 = 4{,}59\ \text{rad/s}

Con

y_0 = 5{,}5\ \text{cm} = 0{,}055\ \text{m}

y(x,t) = 0{,}055\,\text{sen}\left(4{,}59\,t - 3{,}82\cdot 10^{-4}\,x\right)\ \text{m}\qquad (x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})

b) Velocidad y aceleración de oscilación de un punto del medio:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = y_0\,\omega\cos(\omega t - kx)\qquad a_y = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -y_0\,\omega^2\,\text{sen}(\omega t - kx)

Sus valores máximos:

v_{y,\text{máx}} = y_0\,\omega = 0{,}055\cdot 4{,}59 = 0{,}25\ \text{m/s}

a_{y,\text{máx}} = y_0\,\omega^2 = 0{,}055\cdot 4{,}59^2 = 1{,}16\ \text{m/s}^2

La velocidad con que oscila el suelo (

0{,}25\ \text{m/s}

) no tiene nada que ver con la de propagación de la onda (

12\ \text{km/s}

). La aceleración máxima es algo más de una décima de

g

, suficiente para que se note el temblor.

Consejo

No confundas la velocidad de propagación ( $v = \lambda f$ , igual en todos los puntos) con la de vibración de cada punto ( $\partial y/\partial t$ , que cambia con el tiempo y tiene un máximo $y_0\omega$ ).

Pasa la amplitud a metros y la velocidad a m/s antes de escribir la onda; si no, $k$ y la amplitud quedarían en unidades distintas.