FísicaMedio2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una masa puntual de

5\ \text{kg}

se encuentra fija en el punto

P\,(0, 20)\ \text{m}

del plano

xy

. Otra masa puntual

m

, inicialmente en reposo, se encuentra en el punto

Q\,(100, 0)\ \text{m}

.

a) Calcule el campo gravitatorio creado por la masa de

5\ \text{kg}

en el punto

Q

.

b) Por efecto de la atracción gravitatoria, la masa

m

se acelera hacia el punto

P

. Calcule el vector velocidad que poseerá dicha masa cuando pase por el punto

(50, 10)\ \text{m}

.

Dato: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec g(Q) = \left(-3{,}14\cdot 10^{-14}\,\vec i + 6{,}29\cdot 10^{-15}\,\vec j\right)\ \text{m/s}^2\;}

\boxed{\;\vec v = \left(-2{,}51\cdot 10^{-6}\,\vec i + 5{,}02\cdot 10^{-7}\,\vec j\right)\ \text{m/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo de una masa puntual tiene módulo

g = GM/d^2

y apunta hacia la masa. Su dirección es la del vector que va de

Q

P

, que se divide entre su módulo para obtener el unitario.

En b), la masa

m

parte del reposo y solo la atrae

M

, que está fija: se mueve en línea recta de

Q

hacia

P

(el punto

(50, 10)

es justo el punto medio del segmento). La energía mecánica se conserva y da el módulo de la velocidad; su dirección es la del unitario de

Q

P

. La masa

m

se simplifica.

Desarrollo

a) Vector de

Q

P

y distancia:

\vec{QP} = (0 - 100,\ 20 - 0) = (-100,\ 20)\ \text{m}\qquad d = \sqrt{100^2 + 20^2} = \sqrt{10\,400} = 102\ \text{m}

Módulo del campo en

Q

g = \frac{G M}{d^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5}{10\,400} = 3{,}21\cdot 10^{-14}\ \text{m/s}^2

Dirigido de

Q

hacia

P

, con unitario

\vec u = \dfrac{(-100,\ 20)}{102}

\vec g(Q) = 3{,}21\cdot 10^{-14}\,\frac{-100\,\vec i + 20\,\vec j}{102} = \left(-3{,}14\cdot 10^{-14}\,\vec i + 6{,}29\cdot 10^{-15}\,\vec j\right)\ \text{m/s}^2

b) Distancias a

P

al principio y al pasar por

R\,(50, 10)

r_1 = 102\ \text{m}\qquad r_2 = \sqrt{50^2 + 10^2} = \sqrt{2600} = 51{,}0\ \text{m}

Conservación de la energía mecánica (parte del reposo):

-\frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{GMm}{r_2}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)}

v = \sqrt{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5\left(\frac{1}{51{,}0} - \frac{1}{102}\right)} = 2{,}56\cdot 10^{-6}\ \text{m/s}

La velocidad lleva la dirección y el sentido de

Q

P

\vec v = 2{,}56\cdot 10^{-6}\,\frac{-100\,\vec i + 20\,\vec j}{102} = \left(-2{,}51\cdot 10^{-6}\,\vec i + 5{,}02\cdot 10^{-7}\,\vec j\right)\ \text{m/s}

Velocidades minúsculas: la atracción entre objetos de unos pocos kilos es tan débil que, en la práctica, cualquier rozamiento la anularía.

Consejo

El campo gravitatorio apunta siempre hacia la masa que lo crea: el vector que necesitas va del punto a la masa, no al revés.

No uses una aceleración constante para la velocidad: el campo crece al acercarse a $P$ . La conservación de la energía con $E_p = -GMm/r$ lo resuelve en una línea.