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Campo magnético creado por corrientes

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Dos hilos conductores rectilíneos A y B paralelos al eje

x

, que pasan por los puntos

(0, -4, 0)\ \text{m}

(0, 4, 0)\ \text{m}

, transportan intensidades de corriente de

2\ \text{A}

5\ \text{A}

, respectivamente, a lo largo del sentido positivo del eje

x

.

a) Calcule el vector campo magnético que produce el conductor A en la posición del conductor B.

b) Obtenga la fuerza por unidad de longitud que ejerce el conductor A sobre el conductor B, indicando su dirección y sentido.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío,

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\,\text{m}\,\text{A}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec B_A(\text{en B}) = 5\cdot 10^{-8}\,\vec k\ \text{T}\;}

\boxed{\;\frac{\vec F}{L} = -2{,}5\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \text{N/m}\ \ (\text{atractiva})\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un hilo rectilíneo e indefinido crea un campo de módulo

B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}

, con líneas circulares alrededor del hilo; el sentido lo da la regla de la mano derecha (pulgar en el sentido de la corriente). Los hilos están separados

d = 8\ \text{m}

.

La fuerza sobre el tramo de longitud

L

del hilo B es

\vec F = I_B\,\vec L\times\vec B_A

. Por unidad de longitud,

\vec F/L = I_B\,\vec u_x\times\vec B_A

Desarrollo

a) Módulo del campo de A a la distancia

d = 8\ \text{m}

B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2\pi d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 2}{2\pi\cdot 8} = 5\cdot 10^{-8}\ \text{T}

Dirección: la corriente de A va según

+\vec i

y el vector que va de A a B es

+\vec j

. El campo en B lleva la dirección de

\vec u_I\times\vec u_r = \vec i\times\vec j = \vec k

\vec B_A = 5\cdot 10^{-8}\,\vec k\ \text{T}

b) Fuerza por unidad de longitud sobre B, con su corriente según

+\vec i

\frac{\vec F}{L} = I_B\,\vec i\times\vec B_A = 5\cdot 5\cdot 10^{-8}\,(\vec i\times\vec k) = 2{,}5\cdot 10^{-7}\,(-\vec j)

\frac{\vec F}{L} = -2{,}5\cdot 10^{-7}\,\vec j\ \text{N/m}

La fuerza apunta de B hacia A: los hilos se atraen, como ocurre siempre que dos corrientes paralelas van en el mismo sentido. Por la tercera ley de Newton, B tira de A con una fuerza igual y opuesta.

Consejo

Haz un dibujo en el plano $yz$ ( $y$ hacia la derecha, $z$ hacia arriba) con los hilos saliendo del papel (corrientes según $+x$ ): las líneas de campo de A giran en sentido antihorario y en B, a la derecha de A, apuntan hacia $+z$ .

Comprueba el resultado con la regla rápida: corrientes en el mismo sentido se atraen; en sentidos opuestos, se repelen.