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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Un diapasón que vibra con la nota La emite al golpearlo un sonido en forma de onda esférica. El oído de un afinador de pianos se encuentra a

30\ \text{cm}

del diapasón. Si la potencia sonora inicial al golpear el diapasón es de

10^{-4}\ \text{W}

, y va disminuyendo con el tiempo, obtenga:

a) El nivel de intensidad sonora inicial que percibe el afinador de pianos.

b) El tiempo que transcurre hasta que el afinador deja de oír el diapasón, si la potencia sonora

P

disminuye exponencialmente con el tiempo

t

según la ley

P = P_0\,e^{-t/\tau}

, donde

P_0

es la potencia inicial y

\tau = 2\ \text{s}

.

Dato: Intensidad umbral de audición,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\beta_0 = 79{,}5\ \text{dB}\;}

\boxed{\;t = 36{,}6\ \text{s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para una onda esférica, la potencia se reparte sobre la esfera de radio

r

I = P/(4\pi r^2)

. Con la intensidad, el nivel sonoro es

\beta = 10\log(I/I_0)

.

En b), el afinador deja de oír el diapasón cuando la intensidad en su oído baja al umbral

I_0

(nivel de

0\ \text{dB}

). Eso fija la potencia mínima audible a

30\ \text{cm}

, y la ley exponencial da el tiempo que tarda la potencia en bajar hasta ahí.

Desarrollo

a) Intensidad inicial a

r = 0{,}30\ \text{m}

I = \frac{P_0}{4\pi r^2} = \frac{10^{-4}}{4\pi\cdot 0{,}30^2} = 8{,}84\cdot 10^{-5}\ \text{W/m}^2

Nivel de intensidad sonora:

\beta = 10\log\frac{I}{I_0} = 10\log\frac{8{,}84\cdot 10^{-5}}{10^{-12}} = 79{,}5\ \text{dB}

b) Potencia con la que el sonido llega justo al umbral a

30\ \text{cm}

P_{\text{umbral}} = I_0\cdot 4\pi r^2 = 10^{-12}\cdot 4\pi\cdot 0{,}30^2 = 1{,}13\cdot 10^{-12}\ \text{W}

Tiempo que tarda la potencia en bajar hasta ese valor:

P_{\text{umbral}} = P_0\,e^{-t/\tau}\quad\Longrightarrow\quad t = \tau\ln\frac{P_0}{P_{\text{umbral}}} = 2\ln\frac{10^{-4}}{1{,}13\cdot 10^{-12}} = 36{,}6\ \text{s}

Un atajo: el cociente de potencias es el mismo que el de intensidades,

I/I_0 = 10^{\beta/10} = 8{,}84\cdot 10^{7}

, así que

t = 2\ln(8{,}84\cdot 10^{7})

, el mismo resultado.

Consejo

«Deja de oír» significa que la intensidad baja a $I_0$ , es decir, que el nivel llega a $0\ \text{dB}$ . Tradúcelo a una ecuación antes de buscar el tiempo.

Pasa los $30\ \text{cm}$ a metros: con $r = 30$ la intensidad saldría diez mil veces menor.