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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Tianwen-1 es una misión espacial china para aterrizar en el planeta Marte. El 10 de febrero de 2021 la nave (un módulo de aterrizaje acoplado a un orbitador) entró en órbita marciana. Suponga que la órbita es circular y que el periodo de revolución es de

12\ \text{h}

.

a) Determine la altura sobre la superficie del planeta a la que orbita la nave espacial.

b) El 15 de mayo de 2021 el módulo de aterrizaje se separa del orbitador y, tras poner en marcha sus retrocohetes que reducen su velocidad orbital a cero, cae sobre la superficie del planeta. Si no hubiesen funcionado los sistemas de frenado, ¿a qué velocidad hubiera impactado el módulo de aterrizaje en caída libre?

Datos: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

; Masa de Marte,

M_M = 6{,}39\cdot 10^{23}\ \text{kg}

; Radio de Marte,

R_M = 3390\ \text{km}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;h = 9{,}24\cdot 10^{6}\ \text{m}\;}

\boxed{\;v = 4{,}29\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), la tercera ley de Kepler (igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta, con

v = 2\pi r/T

) da el radio de la órbita a partir del periodo. La altura es ese radio menos el radio de Marte.

En b), el módulo parte del reposo a la distancia

r

del centro de Marte y cae sin rozamiento (Marte apenas tiene atmósfera y el enunciado habla de caída libre): se conserva la energía mecánica. Ojo: desde casi

9000\ \text{km}

de altura la gravedad no es constante, así que hay que usar

E_p = -GMm/r

, no

mgh

Desarrollo

a) Periodo:

T = 12\ \text{h} = 43\,200\ \text{s}

. La gravedad hace de fuerza centrípeta:

\frac{G M_M m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G M_M T^2}{4\pi^2}}

r = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}39\cdot 10^{23}\cdot 43\,200^2}{4\pi^2}} = 1{,}263\cdot 10^{7}\ \text{m}

Altura sobre la superficie:

h = r - R_M = 1{,}263\cdot 10^{7} - 3{,}39\cdot 10^{6} = 9{,}24\cdot 10^{6}\ \text{m}

Unos

9240\ \text{km}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Conservación de la energía mecánica entre la órbita (velocidad nula tras frenar) y la superficie:

0 - \frac{G M_M m}{r} = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{G M_M m}{R_M}

v = \sqrt{2 G M_M\left(\frac{1}{R_M} - \frac{1}{r}\right)} = \sqrt{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}39\cdot 10^{23}\left(\frac{1}{3{,}39\cdot 10^{6}} - \frac{1}{1{,}263\cdot 10^{7}}\right)}

v = 4{,}29\cdot 10^{3}\ \text{m/s}

Unos

15\,400\ \text{km/h}

: sin frenos, el módulo se habría estrellado. La masa del módulo se simplifica y no hace falta.

Consejo

El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta; la altura, desde la superficie. Lo que te da Kepler es el radio.

En una caída desde miles de kilómetros no uses $v = \sqrt{2gh}$ : con $g$ de la superficie ( $3{,}71\ \text{m/s}^2$ ) saldrían $8{,}3\ \text{km/s}$ , casi el doble del valor correcto.

Paso 1 de 3

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