FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio

Enunciado

Un foco sonoro de potencia

P

se coloca a una altura

h

sobre el suelo, como ilustra la figura. El nivel de intensidad sonora vale

60\,\text{dB}

en el punto A, a

100\,\text{m}

de distancia del foco, y alcanza

80\,\text{dB}

en el punto B, en el suelo en la vertical del foco.

Foco de potencia P a una altura h sobre el punto B del suelo. El punto A, también en el suelo, está a 100 m del foco en línea recta y en él el nivel es de 60 dB; en B, justo debajo del foco, el nivel es de 80 dB

a) Calcule

P

h

.

b) ¿Cuál sería el nivel de intensidad en el punto B si se agregase sobre él otro foco de igual potencia a una altura de

h/2

?

Dato: Intensidad umbral de audición,

I_0 = 10^{-12}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P = 4\pi\cdot 10^{-2}\ \text{W} = 0{,}126\ \text{W}\qquad h = 10\ \text{m}\;}

\boxed{\;\beta'_B = 87{,}0\ \text{dB}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Un foco puntual reparte su potencia por igual en una esfera, así que a una distancia

r

la intensidad es

I = P/(4\pi r^2)

. Del nivel en decibelios se saca la intensidad,

I = I_0\cdot 10^{\beta/10}

.

En A conocemos la distancia (

100\,\text{m}

) y la intensidad: sale la potencia. En B conocemos la intensidad y ya la potencia: sale la distancia, que es la altura

h

.

En b) lo que se suman son las intensidades, nunca los decibelios. El foco nuevo está a la mitad de distancia de B, así que allí da cuatro veces más intensidad que el primero.

Desarrollo

a) Intensidades en A y en B a partir de sus niveles:

I = I_0\cdot 10^{\beta/10}\qquad I_A = 10^{-12}\cdot 10^{6} = 10^{-6}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\qquad I_B = 10^{-12}\cdot 10^{8} = 10^{-4}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Potencia del foco, con la distancia

r_A = 100\,\text{m}

P = 4\pi r_A^2\,I_A = 4\pi\cdot 100^2\cdot 10^{-6} = 4\pi\cdot 10^{-2} = 0{,}126\ \text{W}

Distancia del foco a B, que es la altura:

I_B = \frac{P}{4\pi h^2}\quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_B}} = \sqrt{\frac{10^{-2}}{10^{-4}}} = 10\ \text{m}

Coherente: la intensidad en B es

100

veces la de A, así que B está

10

veces más cerca del foco.

b) El segundo foco, de la misma potencia, está a

h/2 = 5\,\text{m}

de B. Su intensidad allí:

I_2 = \frac{P}{4\pi\,(h/2)^2} = 4\,\frac{P}{4\pi h^2} = 4\,I_B = 4\cdot 10^{-4}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Las intensidades se suman:

I_{\text{total}} = I_B + 4\,I_B = 5\cdot 10^{-4}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Nivel de intensidad resultante:

\beta' = 10\log\frac{5\cdot 10^{-4}}{10^{-12}} = 10\log\left(5\cdot 10^{8}\right) = 80 + 10\log 5 = 87{,}0\ \text{dB}

Consejo

Los decibelios no se suman: $80\,\text{dB} + 86\,\text{dB}$ no son $166\,\text{dB}$ . Pasa siempre a intensidades, súmalas y vuelve a decibelios.

Un truco para comprobar: multiplicar la intensidad por $10$ sube $10\,\text{dB}$ , y por $5$ sube unos $7\,\text{dB}$ ( $10\log 5 \approx 6{,}99$ ).