FísicaMedioProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio

Enunciado

Una muestra contiene inicialmente una masa de

30\,\text{mg}

^{210}\text{Po}

. Sabiendo que su período de semidesintegración es de

138{,}38

días, determine:

a) La vida media del isótopo y la actividad inicial de la muestra.

b) El tiempo que debe transcurrir para que el contenido de

^{210}\text{Po}

de la muestra se reduzca a

5\,\text{mg}

.

Datos: Masa atómica del

^{210}\text{Po}

M_{\text{Po}} = 210\,\text{u}

; Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\tau = 199{,}6\ \text{días} = 1{,}72\cdot 10^{7}\ \text{s}\qquad A_0 = 4{,}99\cdot 10^{12}\ \text{Bq}\;}

\boxed{\;t = 357{,}7\ \text{días} \approx 3{,}09\cdot 10^{7}\ \text{s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La vida media

\tau

y el periodo de semidesintegración

T_{1/2}

están ligados por

\ln 2

\tau = T_{1/2}/\ln 2

. Y la constante de desintegración es su inversa,

\lambda = 1/\tau

.

La actividad es

A = \lambda N

, así que necesitamos el número de núcleos, no la masa: se pasa de miligramos a moles con la masa molar (

210\,\text{g/mol}

) y de moles a núcleos con Avogadro. Para que la actividad salga en becquerelios,

\lambda

tiene que ir en

\text{s}^{-1}

.

En b) la masa decae con la misma exponencial que el número de núcleos, así que basta con despejar el tiempo con un logaritmo.

Desarrollo

a) Vida media:

\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} = \frac{138{,}38}{0{,}6931} = 199{,}6\ \text{días}

En segundos (un día son

86\,400\,\text{s}

\tau = 199{,}64\cdot 86\,400 = 1{,}72\cdot 10^{7}\ \text{s}\qquad \lambda = \frac{1}{\tau} = 5{,}80\cdot 10^{-8}\ \text{s}^{-1}

Número inicial de núcleos, con

m_0 = 30\,\text{mg} = 0{,}030\,\text{g}

N_0 = \frac{m_0}{M}\,N_A = \frac{0{,}030}{210}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 8{,}60\cdot 10^{19}\ \text{núcleos}

Actividad inicial:

A_0 = \lambda\,N_0 = 5{,}797\cdot 10^{-8}\cdot 8{,}60\cdot 10^{19} = 4{,}99\cdot 10^{12}\ \text{Bq}

b) La masa de polonio que queda sigue la ley de desintegración:

m(t) = m_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{30} = e^{-t/\tau}\quad\Longrightarrow\quad t = \tau\,\ln\frac{30}{5} = \tau\,\ln 6

t = 199{,}64\cdot 1{,}792 = 357{,}7\ \text{días} = 3{,}09\cdot 10^{7}\ \text{s}

Tiene sentido:

5\,\text{mg}

es algo menos de la cuarta parte de

30\,\text{mg}

, así que han de pasar algo más de dos periodos (

2\cdot 138{,}38 = 276{,}8

días).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas vida media ( $\tau = 1/\lambda$ ) con periodo de semidesintegración ( $T_{1/2} = \tau\ln 2$ ): la vida media es siempre la mayor de las dos.

Para la actividad en becquerelios, $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ . Si la dejas en $\text{días}^{-1}$ , el resultado sale en desintegraciones por día, $86\,400$ veces mayor.

Paso 1 de 3

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