FísicaMedioProblema · 2 pts

Inducción electromagnética

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio

Enunciado

La figura representa una varilla metálica de

20\,\text{cm}

de longitud, cuyos extremos deslizan sin rozamiento sobre unos raíles horizontales, paralelos al eje

x

, metálicos y de resistencia despreciable. La varilla tiene resistencia despreciable y su velocidad es

\vec v = 2\,\vec i\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

. Los raíles están conectados en

x = 0

por una resistencia de valor

R = 0{,}5\,\Omega

. En la región hay un campo magnético uniforme

\vec B = -0{,}4\,\vec k\ \text{T}

. Calcule:

Dos raíles horizontales paralelos al eje x, unidos en x = 0 por una resistencia R; sobre ellos, una varilla vertical que se mueve hacia la derecha con velocidad v. El campo magnético B entra en el papel (sentido −k) en toda la región

a) La intensidad de la corriente en el circuito formado por la varilla, la resistencia y los tramos de raíl entre ellas.

b) La fuerza

\vec F

que el campo magnético ejerce sobre la varilla.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;I = 0{,}32\ \text{A}\ \ \text{(sentido antihorario; hacia } +\vec j \text{ en la varilla)}\;}

\boxed{\;\vec F = -2{,}56\cdot 10^{-2}\,\vec i\ \ \text{N}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La varilla, la resistencia y los raíles forman un circuito cuya superficie crece a medida que la varilla avanza. Como el campo es uniforme, el flujo crece al mismo ritmo y aparece una fem inducida (ley de Faraday), que para una varilla que se mueve perpendicular al campo vale

\varepsilon = BLv

. La corriente sale de la ley de Ohm.

El sentido lo da la ley de Lenz: la corriente se opone al aumento del flujo entrante. Con ese sentido, la fuerza sobre la varilla es

\vec F = I\,\vec L\times\vec B

y, otra vez por Lenz, debe frenar el movimiento.

Desarrollo

a) Si

x

es la posición de la varilla, el área del circuito es

S = L\,x

. El flujo, en módulo:

\Phi = B\,S = B\,L\,x

Por la ley de Faraday, con

dx/dt = v

|\varepsilon| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B\,L\,v = 0{,}4\cdot 0{,}20\cdot 2 = 0{,}16\ \text{V}

La intensidad, con resistencia total

R

I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{0{,}16}{0{,}5} = 0{,}32\ \text{A}

Sentido: el flujo entrante en el papel aumenta, así que la corriente inducida crea un campo saliente dentro del circuito; eso exige que circule en sentido antihorario visto en la figura. En la varilla (el lado derecho del circuito) la corriente sube, en el sentido

+\vec j

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Fuerza sobre un conductor rectilíneo en un campo uniforme, con

\vec L

en el sentido de la corriente:

\vec F = I\,\vec L\times\vec B\qquad \vec L = 0{,}20\,\vec j\ \text{m}

\vec F = 0{,}32\cdot\left(0{,}20\,\vec j\right)\times\left(-0{,}4\,\vec k\right) = -0{,}0256\,\left(\vec j\times\vec k\right) = -0{,}0256\,\vec i

\vec F = -2{,}56\cdot 10^{-2}\,\vec i\ \ \text{N}

La fuerza va en sentido

-\vec i

, opuesta a la velocidad: es la ley de Lenz en versión mecánica. Para mantener la varilla a velocidad constante habría que empujarla con una fuerza igual y opuesta.

Consejo

Usa la ley de Lenz como comprobación doble: la corriente debe oponerse a la variación del flujo (aquí, un aumento del flujo entrante) y la fuerza resultante debe frenar la varilla. Si te sale una fuerza a favor del movimiento, tienes un signo mal en el producto vectorial.

Recuerda pasar los $20\,\text{cm}$ a metros antes de multiplicar.