FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio

Enunciado

Por una cuerda dispuesta a lo largo del eje

x

viaja una onda armónica que desplaza los elementos de la cuerda en la dirección del eje

y

. Se sabe que los elementos A y B, respectivamente ubicados en

x_A = 0\,\text{m}

x_B = 2\,\text{m}

, oscilan en fase y cortan al eje

x

cada

4\,\text{s}

. Teniendo en cuenta que no hay entre A y B ningún otro elemento que oscile en fase con ellos:

a) Calcule el valor de la velocidad de propagación.

b) Escriba la expresión matemática de la onda, si esta viaja en el sentido negativo del eje

x

y en el instante inicial los elementos A y B presentan desplazamiento igual a

+10\,\text{cm}

y velocidad nula.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v = 0{,}25\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad (T = 8\ \text{s},\ \lambda = 2\ \text{m})\;}

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\,t + \pi x + \frac{\pi}{2}\right) = 0{,}1\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\,t + \pi x\right)\ \text{(SI)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo el problema está en traducir el enunciado a magnitudes de la onda.

«Cortan al eje $x$ cada $4\,\text{s}$ »: un punto que oscila pasa por la posición de equilibrio dos veces en cada periodo (una subiendo y otra bajando). Así que $4\,\text{s}$ es medio periodo.
«Oscilan en fase y no hay otro en fase entre ellos»: dos puntos consecutivos en fase están separados exactamente una longitud de onda.

Con

\lambda

T

, la velocidad es

v = \lambda/T

. Para b) falta la amplitud y la fase inicial: si en

t = 0

el punto A tiene velocidad nula, está en un extremo, así que su desplazamiento es la amplitud.

Desarrollo

a) El paso por el eje

x

se repite cada medio periodo:

\frac{T}{2} = 4\ \text{s}\quad\Longrightarrow\quad T = 8\ \text{s}

A y B son puntos consecutivos que vibran en fase, luego distan una longitud de onda:

\lambda = x_B - x_A = 2\ \text{m}

Velocidad de propagación:

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{2}{8} = 0{,}25\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

b) Frecuencia angular y número de onda:

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{4}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}

t = 0

los puntos A y B tienen velocidad nula: están en un extremo de su oscilación. Su desplazamiento,

+10\,\text{cm}

, es por tanto la amplitud:

A = 0{,}1\,\text{m}

.

Para una onda que viaja hacia

-x

\omega t

kx

van con el mismo signo:

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t + kx + \varphi_0)

Imponemos la condición inicial en A (

x = 0

t = 0

y(0,0) = 0{,}1\,\text{sen}\,\varphi_0 = +0{,}1\quad\Longrightarrow\quad \text{sen}\,\varphi_0 = 1\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{2}

Su velocidad,

v_y = A\omega\cos\varphi_0 = 0

, también se cumple. Para B (

x = 2\,\text{m}

) la fase es

2\pi + \pi/2

: el mismo estado, como debe ser. La onda queda:

y(x,t) = 0{,}1\,\text{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\,t + \pi x + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{(SI)}

Equivalente, con coseno:

y(x,t) = 0{,}1\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\,t + \pi x\right)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La trampa está en el «cortan al eje $x$ cada $4\,\text{s}$ »: entre dos pasos por el equilibrio solo pasa medio periodo. Si tomas $T = 4\,\text{s}$ , la velocidad te sale el doble.

El sentido de propagación se lee en los signos: $\omega t - kx$ viaja hacia $+x$ y $\omega t + kx$ hacia $-x$ . Y la amplitud siempre en metros: $10\,\text{cm} = 0{,}1\,\text{m}$ .