FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2022 · Junio

Enunciado

Una partícula de masa

20\,\text{kg}

permanece fija en el origen de coordenadas.

a) Calcule el campo gravitatorio generado por la masa en el punto

(8,\,6)\,\text{m}

y la fuerza que experimentará una segunda partícula de masa

3\,\text{kg}

situada en dicho punto.

b) Con el objetivo de alejar la segunda partícula, se le transmite una velocidad de

1{,}2\cdot 10^{-5}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

en la dirección de la recta que une ambas partículas. Halle el punto más alejado del origen que alcanzará dicha partícula.

Datos: Constante de Gravitación Universal,

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\vec g = -1{,}07\cdot 10^{-11}\,\vec i - 8{,}00\cdot 10^{-12}\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\qquad \vec F = -3{,}20\cdot 10^{-11}\,\vec i - 2{,}40\cdot 10^{-11}\,\vec j\ \ \text{N}\;}

\boxed{\;r_{\text{máx}} = 21{,}7\ \text{m}:\ \text{punto } (17{,}4;\ 13{,}0)\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el campo de una masa puntual apunta siempre hacia la masa: su módulo es

GM/r^2

y su dirección, la del vector que va del punto al origen. Con el punto

(8,\,6)

la distancia sale redonda,

10\,\text{m}

, y el vector unitario es

(0{,}8;\ 0{,}6)

. La fuerza es simplemente la masa por el campo.

En b) la partícula sale disparada alejándose del origen, frenada por la atracción. Como la gravedad es conservativa, la energía mecánica se conserva: en el punto más alejado la velocidad es nula y toda la energía es potencial. De ahí sale la distancia máxima, y como el movimiento es a lo largo de la recta que pasa por el origen, el punto está en la misma dirección que

(8,\,6)

Desarrollo

a) Distancia del punto

P(8,\,6)

al origen y vector unitario radial (del origen hacia

P

r = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\ \text{m}\qquad \vec u_r = \frac{8\,\vec i + 6\,\vec j}{10} = 0{,}8\,\vec i + 0{,}6\,\vec j

El campo apunta hacia la masa, es decir, en sentido

-\vec u_r

\vec g = -\frac{GM}{r^2}\,\vec u_r = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 20}{10^2}\,(0{,}8\,\vec i + 0{,}6\,\vec j)

\vec g = -1{,}07\cdot 10^{-11}\,\vec i - 8{,}00\cdot 10^{-12}\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\qquad |\vec g| = 1{,}33\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

La fuerza sobre la partícula de

3\,\text{kg}

\vec F = m\,\vec g

\vec F = 3\,\vec g = -3{,}20\cdot 10^{-11}\,\vec i - 2{,}40\cdot 10^{-11}\,\vec j\ \ \text{N}\qquad |\vec F| = 4{,}00\cdot 10^{-11}\ \text{N}

b) Energía mecánica de la partícula justo después de recibir la velocidad (a

r_0 = 10\,\text{m}

E = -\frac{GMm}{r_0} + \frac{1}{2}\,m v_0^2 = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 20\cdot 3}{10} + \frac{1}{2}\cdot 3\cdot\left(1{,}2\cdot 10^{-5}\right)^2

E = -4{,}00\cdot 10^{-10} + 2{,}16\cdot 10^{-10} = -1{,}84\cdot 10^{-10}\ \text{J}

Es negativa: la partícula está ligada y no escapa; se aleja hasta pararse. En ese punto toda la energía es potencial:

E = -\frac{GMm}{r_{\text{máx}}}\quad\Longrightarrow\quad r_{\text{máx}} = \frac{GMm}{|E|} = \frac{4{,}002\cdot 10^{-9}}{1{,}842\cdot 10^{-10}} = 21{,}7\ \text{m}

La partícula se mueve sobre la recta que une el origen con

(8,\,6)

, alejándose; el punto buscado está en la dirección de

\vec u_r

\vec r_{\text{máx}} = 21{,}73\,(0{,}8\,\vec i + 0{,}6\,\vec j) = (17{,}4;\ 13{,}0)\ \text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El signo menos del campo no es decorativo: $\vec u_r$ va de la masa hacia el punto y el campo apunta al revés, hacia la masa. Comprueba al final que las dos componentes de $\vec g$ apuntan hacia el origen (aquí, ambas negativas).

En b) la energía potencial es $-GMm/r$ , con $r$ y no $r^2$ . Antes de buscar el punto de parada, mira el signo de la energía total: si fuera positiva o nula, la partícula escaparía y no habría «punto más alejado».